Dla maturzystów Saizou : Zad. 1 W okręgu o promieniu R poprowadzono dwie prostopadłe i przecinające się cięciwy AB i CD. Wykaż, że |AC|²+|BD|²=4R²

Mila: Cisza. Maturzyści odpoczywają

Saizou : Ferie mają

salamandra: Domyślam sie, ze jakos z tw. sinusów to trzeba, ale co dalej?

Saizou : Podpowiedź: Dorysować średnice i utworzyć trójkąty prostokątne.

Mila: Inny sposób: 1) Zaznacz wszystkie odpowiednie kąty równe w czworkącie 2) tw. sinusów do ΔACD i BCD 3) sumy kątów przeciwległych ...

a@b: Podam taki sposób: Z wykorzystaniem geometrii analitycznej Umieszczam środek okręgu w punkcie S(0,0) A(−x,y) , B( x,y) , C( −m,−n) , D(−m,n) x²+y²=m²+n²=R² |AC|²=(x−m)²+(y+n)²= x²−2mx+m²+y²+2ny+n²= 2R²−2mx+2ny |DB|²=(x+m)²+(y−n)²= x²+2mx+m²+y²−2ny+y²= 2R²+2mx−2ny i ... mamy tezę |AC|²+|DB|²= 4R² ================

Saizou : Bez tw. sinusów 1. Dorysowuję średnicę BE →ΔBCE jest prostokątny 2. Dorysowuję średnicę AF →ΔADF jest prostokątny 3. Niech kąt AFD=α, zatem kąt DCA=α (kąty oparte na tym samym łuku AD) 4. Niech kąt BEC=β, zatem kąt CAB=β (kąty oparte na tym samym łuku CB)

	x
5. W ΔBCE mamy sinβ=		→x=2Rsinβ
	2R

	y
6. W ΔADF mamy sinα=		→y=2Rsinα
	2R

7. Łącząc 5 i 6 mamy x²+y²=4R²(sin²α+sin²β) 8. Δ APC jest prostokątny, zatem α+β=90→β=90−α 9. Podstawiając do 7 i używając wzorów redukcyjnych, jedynki trygonometrycznej otrzymujemy x²+y²=4R

a@b: 3 sposób 1/ rys. 2/ w trójkątach prostokątnych ACE i BED i BCE w=x*sinα i k=y*sinα i |CB|²=w²+k²= (x²+y²)*sin²α oraz |CB|=2R*sinα to |CB|²=4R²sin²α i mamy tezę x²+y²=4R² |AC|²+|DB|²=4R² ================

salamandra: Ten ostatni sposób fajny Saizou− ale x i y, to nie są AC i DB, a to trzeba było udowodnić?

Saizou : Zamień na rysunku literki C z D