Punkt A = (–2, –6) jest wierzchołkiem równoległoboku ABCD rafałek: Punkt A = (–2, –6) jest wierzchołkiem równoległoboku ABCD (AB || CD), którego bok AB zawarty jest w prostej k o równaniu x – 2y – 10 = 0. Przekątna BD tego równoległoboku jest prostopadła do jego podstawy AB, a wierzchołek C ma współrzędne C = (10, 14) (zobacz rysunek https://imgur.com/undefined ). Oblicz pole powierzchni równoległoboku ABCD i współrzędne wierzchołka D.

salamandra: Też mnie zastanawia odpowiedź do tego zadania, czy przypadkiem nie jest tu za mało danych: Zacząłem tak: A(−2,6) AB leży na prostej k: x−2y−10 = 0

	1
więc y=		x−5
	2

	1
CD jest do niej równoległa, więc a=
	2

	1
y=		x−b
	2

C(10,14) b=−9

	1
y=		x−9
	2

BD: y=−2x+b I dalej jak wyliczyć b, bez współrzędnych B i D? Jedyne co mogę jeszcze z tych danych wyliczyć to długość przekątnej AC

ite: Przekątne równoległoboku przecinają się w połowach.

salamandra: To wiem, ale wynika cos z tego?

salamandra: Aha, że środek przekątnej AC, to punkt który leży również na BD?

ite: o tak : )

salamandra: W związku z tym

	xa+xc		ya+yc		−2+10		6+14
S(		,		) = (		,		) = (4,10)
	2		2		2		2

BD: y= −2x+b 10=−2*4+b b=18 y=−2x+18 Punkt przecięcia prostej CD i BD da nam współrzędne D:

	1
−2x+18=		x−9
	2

−5		2
	x = −27 / *(−		)
2		5

x= 10,8 y= 3,6 D(10,8; 3,6) Dziwne liczby, dlatego zanim przystąpię do liczenia pola spytam czy ok?

a@b: S(4,4)

ite: S=(4,4) druga współrzędna pkt A to (−6)

salamandra: Dlaczego tak?

salamandra: Nieważne.... i tu, i w zeszycie zapisałem 6...

a@b:

−6+14
	= 4
2

salamandra: To od nowa: AB: k: x−2y−10 = 0 −2y=−x+10 y= U[1}{2}x−5

	1
CD: l:		x−b
	2

C(10,14) 14=5−b b=−9

	1
y=		x−9
	2

BD: y= −2x+b S=(4,4) BD: y=−2x+b 4=−8+b b=12 y=−2x+12

	1
−2x+12=		x−9
	2

−5		−2
	x=−21 / *(		)
2		5

x= 8,4 −2*8,4+12 = y −16,8+12 = y y=−4,8 D(8,4; −4,8) Teraz dobrze?

ite: wg geogebry D=(1,2; 9,6) i B=(6,8; −1,6) może ktoś jeszcze sprawdzi, bo ja już nie dam rady

salamandra: No to B mam dobrze, ale D nie wiem gdzie błąd

Mila: A = (–2, –6) jest wierzchołkiem równoległoboku ABCD (AB || CD), którego bok AB zawarty jest w prostej k o równaniu x – 2y – 10 = 0. Przekątna BD tego równoległoboku jest prostopadła do jego podstawy AB, a wierzchołek C ma współrzędne C = (10, 14). Oblicz pole powierzchni równoległoboku ABCD i współrzędne wierzchołka D. 1) środek AC:

	−2+10		−6+14
S=(		,		)
	2		2

S=(4,4) DB⊥k i S∊prostej DB k: x – 2y – 10 = 0 DB: 2x+y+D=0 i 2*4+4+D=0⇔D=−12 2x+y−12=0⇔ y=−2x+12 B− Punkt przecięcia prostych k i p

	1
−2x+12=		x−5
	2

	34
x=		=6.8
	5

y=−1.6 B=(6.8, −1,6) 2) Przekątne dzielą się na połowy BS^→=[4−6.8,4+1.6]=[−2.8,5.6] S=(4,4)→T_{[[−2.8,5.6]}⇒D=(4−2.8,4+5.6) D=(1.2,9.6) ================

salamandra: Wytlumaczylabys dlaczego współrzędne D liczysz za pomocą wektorow? Czyli nie można zrobić tak jak ja, czyli punkt przecięcia prostej CD I BD?

Mila: Możesz tak zrobić, ale wektorami dla mnie prościej. BD: y=−2x+12 Prosta CD: x−2y+D=0 i 10−28+D=0⇔D=18 x−2y+18=0 x−2*(−2x+12)+18=0 x+4x−24+18=0 5x=6

	6
x=
	5

y=9.6 Masz więcej obliczeń.

salamandra: Dlaczego z postaci kierunkowej to nie wychodzi?

salamandra:

	1
ok, już chyba wiem− napisałem l: CD: y=		x−b
	2

salamandra:

	1
Tak, dokładnie, powinno być y=		x+9 a nie −9
	2

Mila:

salamandra: A jak wyznaczyć pole? Ja planowałem policzyć długości przekątnych, następnie z połowy ich części i podstawy AB wyznaczyć trójkąt i z tw. cosinusów obliczyć kąt między przekątynymi i ze

	1
wzoru		*d1*d2*sinα
	2

salamandra:

salamandra: I sposób AB = x−2y−10=0 C = (10,14)

	|1*10+(−2)*14−10|		28		28√5
d=		=		=
	√12+(−2)2		√5		5

d=h

	22√5
|AB|=		, bo |AB| = √(345+2)2+(−85+6)2
	5

	22√5		28√5		616
P =		*		=
	5		5		5

Mila: Dobrze

salamandra: Z Tw. cosinusów

	22√5
|AB| =
	5

1
	d1 (bok trójkąta ABS) = |AS| = 2√34
2

1		14√5
	d2 = |BS| =
2		5

	22√5		14√5		14√5
(		)2 = (2√34)2+(		)2−2*2√34*		*cosα
	5		5		5

484*5		980		56√170
	= 136+		−		*cosα
25		25		5

484		980		56√170
	−136−		= −		*cosα
5		25		5

−392		56√170		56√170
	= −		*cosα / : −
5		5		5

	7√170
cosα =
	170

cos²α+sin²α = 1

49
	+sin2α = 1
170

	121
sin2α =
	170

	11√170
kąt ostry lub rozwarty więc sinus dodatni: sinα =
	170

	1		1		28√5		11√170		616
P równoległoboku:		*d1*d2*sinα =		*4√34*		*		=
	2		2		5		170		5

salamandra: kąt ostry lub z przedziału (90;180)*

Mila: Dałam sposób z wektorami i wyznacznikiem, rozwiąż

Mila: Sposób z kątem jest długi i czasochłonny.

salamandra: Wiem ze czasochłonny ale zanim mi nie podpowiedziałas z tą wysokością to nie miałem innego pomysłu

salamandra: Mogę jakąś lekturę do tych wektorow i wyznacznika? Bo wektory są mi prawie kompletnie obce

Mila: Z wysokością masz krótko Wektory w układzie współrzędnych. https://www.matmana6.pl/wektory-definicja-i-dzialania-na-wektorach https://www.youtube.com/watch?v=xiIvokcDJ8U

salamandra:

	44		22		16		78
Czyli wektor AB to [		,		] i AD to [		,		]?
	5		5		5		5

Mila: Tak: det(..)

44		22
5		5

16		78
5		5

	44		78		22		16		616
P=|		*		−		*		|=		=123,2
	5		5		5		5		5

Lepiej liczyć na dziesiętnych.

Mila: Jeśli A i B są punktami kratowymi to możesz odczytać wsp. z rysunku. A=(−1,−1), B=(3,2) AB^→=[4, 3] Z obliczeń: AB^→=[3−(−1),2−(−1)]=[4,3] CD^→=[3,−2] Podaj współrzędne EF^→

salamandra: EF=[−3, −4]?

Mila: No i pięknie. Wyznacz wierzchołek D równoległoboku ABCD . ( sposób z wektorami) Oblicz pole równoległoboku.

salamandra: B(3,−2) C(5,1) wektor BC −> = [2, 3] więc wektor AD musi być taki sam jako że są równoległe A(−2,−1) AD−> = [Xd+2, Yd+1] = [2,3] więc D(0,2) Pole: W=a*d−c*d wektor AB−> = [5, −1] wektor AD−> = [2,3] W= 5*3−2*3= 15−6 = 9

	1
P=		*9 = 4,5?
	2

salamandra: Poprawka: W= a*d−b*c (nie wiem czy sugerować się Twoim zapisem z 21:58 czy 18:18)?

Mila: Zapis : A=(−2,−1)→[2,3]⇒D=(−2+2,−1+3)=(0,2) D=(0,2) AB^→=[5, −1] AD^→=[2,3] W=|5*3−(−1)*2|=15+2=17 Pole równoległoboku w układzie współrzędnych P=17

salamandra: Czyli W= a*d−b*c ok W ogóle ten wzór na pole to jest jakiś uniwersalny rozumiem? Na dowolny czworokąt?

Mila: Przepraszam, miałam tam literówki 1) wsp. AB→=[a,b], AD→[c,d] Wyznacznik: a b c d W=a*d−bc P▱=|ad−bc|

Mila: Ogólny wzór jest na pole Δ.

	1
PΔ=		|w| , wyznacznik jak 23:14.
	2

	1
Dla równoległoboku bez (		) bo przekątna dzieli równoległobok na dwa Δ o równych polach.
	2

salamandra: Dzięki, warto znać