Wykazanie, że suma długości kątów = 90 stopni Kamil: W trójkącie ostrokątnym ABC poprowadzono wysokości BD i CE. Wykaż, że |∡ABC| + |∡BDE| = 90^o . Mało danych w tym zadaniu i nic nie wymyśliłem. Będę wdzięczny za podpowiedź.

an: Mówi Ci to coś

Mila: Suma miar kątów.! |∡ABC| + |∡BDE| =? 90^o . 1) ΔDEF− trójkąt spodkowy ( poczytaj o tym na deltami.edu) wysokości AF,BD,CF są dwusiecznymi kątów wewnętrznych ΔDEF Na każdym z czworokątów: AESD, EBFS, CDSF można opisać okrąg ( sumy miar kątów przeciwległych są równe 189^o) Z tego wynika równość odpowiednich kątów wpisanych opartych na tym samym łuku. Zaznaczyłam środki okręgów, zrób rysunek, to zobaczysz . 2d+2f+2e=180^o d+e+f=90^o cnw. Zrobiłam rysunek, ale mało jest czytelny. Jeśli sobie nie poradzisz , to jutro zrobię rysunek.

Mila: Może inny sposób ktoś dzisiaj poda. Widzę, że an podała jeszcze inną propozycję, też z okręgiem.

Kamil: Oczywiście, że suma miar kątów. Głupi błąd. Zapisałem taki dowód, ale nie wiem czy zrobiłem to dobrze. Gdyby ktoś mógł napisać czy na maturze byłoby to dobre rozwiązanie to byłbym wdzięczny Dowód: L1=2πr * 180^o/360^o=2πr*1/2=πr=L2 Łuk L2 to 1/2 długości całego okręgu. |∡BDE| oparty jest o część łuku L2 gdzie długość części łuku L2, na której oparty jest |∡BDE| równa jest πr*α/180^o. |∡EBC|=|∡ABC| |∡EBC| oparty jest o część łuku L2 gdzie długość części łuku L2, na której oparty jest |∡EBC| równa jest πr*180^o−α/180^o. Suma długości łuków, na których oparte są 2 powyższe kąty: πr*α/180^o+πr*180−α/180^o=πrα+180πr−πrα/180^o=180πr/180^o=πr=L2 ==> Kąt |∡EBC|+|∡BDE| jest oparty o łuk będący 1/2 całego okręgu ==> Skoro |∡EBC|=|∡ABC| to |∡ABC|+|∡BDE|=90^o c.n.u

Mila: 1) Szukasz kątów wpisanych na tym samym łuku. kąty ∡EDB i ∡ECB są oparte na tym samym łuku EB , zatem są równe. δ+β=90^o Koniec

Mila: Podziękuj an

Kamil: Ehh... Rysunek źle zrobiłem. Na rysunku an widać, że punkt E należy do okręgu opisanego. Poprawię później rysunek jeśli ten dowód okaże się prawidłowy

Kamil: Dziękuję!

Kamil: Korzystając z okazji zadam pytanie odnośnie mojego dowodu. Czy mogę zawierać w dowodach twierdzenie właśnie takie, że suma kątów opartych łącznie o 1/2 długości okręgu jest równa 90^o czy takie twierdzenie działa tylko dla jednego kąta?

Mila: Kąt wpisany oparty na półokręgu jest kątem prostym. albo Kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym.

Kamil: Nie wiem czy dobrze mnie zrozumiałaś więc zapytam jeszcze raz dla pewności Tutaj α+β≠90^o, tak?

Mila: Ważne, abyś Ty zrozumiał co ja piszę. 1) α+β=90^o bo |∡ C|=90^o i z sumy kątów w Δ⇒ α+β=90^o ∡ C− kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym. 2) |∡ D|≠90^o to γ+δ≠90^o

Kamil: Rozumiem Dziękuję bardzo za pomoc kolejny raz