Udowodnij wzór stosując mocną indukcję Olek: Udowodnij wzór stosując mocną indukcję:

⎧	a0=2,
⎨	a1=3
⎩	an = 3an−1 − 2an−2 dla n≥2

PW: Przepraszam, ale co tu jest do udowodnienia? Podałeś rekurencyjną definicję pewnego ciągu. Nie ma tu żadnej tezy, którą należałoby udowodnić.

Olek: Sam nie wiem, bo polecenie brzmi żeby znaleźć jawny wzór, a w zagadnieniach mam zapisane to zadanie jako zadanie z użyciem indukcji mocnej

Adamm: zadanie typu 'zgadnij i udowodnij, że to prawda'

Blee: no to chyba treść zadania podaje Ci co masz zrobić −−− masz znaleźć (samodzielnie) jawny wzór a następnie go udowodnić

Adamm: 2ⁿ+1

PW: No nie bardzo, polecenie jest źle sformułowane (nie ma tego 'określ jawny wzór i udowodnij go').

Blee: PW ... z pewnością jest tylko Olek nie jest w stanie przepisać poprawnie pełnego polecenia

PW:

Olek: Nie wiem po co te uszczypliwości. Polecenie brzmi, że należy znaleźć wzór jawny ciągu. Pan Nauczyciel jednak na sprawdzian, w zagadnieniach zapisał, żeby rozwiązać to zadanie przy pomocy indukcji mocnej. Sam nie miałem pojęcia o co chodzi.

Adamm: Chodzi o to, na początku nie napisałeś, że chodzi o wzór jawny

Mila: 1) Wzór jawny ciągu: a₀=2, a₁=3 a_n = 3a_n−1 − 2a_n−2 dla n≥2 a) równanie charakterystyczne: x²−3x+2=0 x=1 lub x=2 b) a_n=A*1ⁿ+B*2ⁿ− przewidywana postać ciągu a₀=2=A+B a₁=3=A+2B A=1, B=1 a_n=2ⁿ+1 2) Dowód − postaraj się sam

Olek: Dziękuję, jak wrócę do domu to spróbuję.

Olek: 1) Sprawdzam dla n=0 i n=1 a₀ = 1 + 1 = 2 a₁ + 2+1 = 3 2) Na mocy zależności rekurencyjnej dla n≥2 a_n = 3*(2ⁿ⁻¹ + 1) − 2*(2ⁿ⁻¹ + 1) = 2ⁿ + 1 co kończy dowód. Może być tak?

PW: No nie bardzo. a_n−2 = 2ⁿ⁻² + 1 i trzeba wyliczyć, że otrzymamy 2ⁿ, a nie napisać, bo tak ma być.

Olek: To jest wyliczone, tylko nie chciało mi się przepisywać tych obliczeń, i źle przepisałem drugi człon.

Olek: A jak zrobić to przy pomocy mocnej indukcji?

Mila: