Nierówność indukcyjna Olek: Sprawdź dla jakich liczb naturalnych prawdziwa jest następująca nierówność. Wykorzystaj zasadę indukcji matematycznej n³<2ⁿ I to zachodzi tylko dla n∊{0,1} i nie wiem czy wystarczy to tylko wypisać, czy muszę wprowadzać założenie indukcyjne itd. W poleceniu jest żeby wykorzystać zasadę indukcji, ale tutaj nie ma co zakładać.

PW: Tylko? 10³ = 1000 < 2¹⁰ = 1024 11³ = 1331 < 2¹¹ = 2048

Olek: 1) Krok. Sprawdzam dla n=0 L=0, P=1 L<P ⇒ zachodzi 2) krok Zakładam, że ∀_n≥0 zachodzi n³<2ⁿ Teza: (n+1)³<2^{n + 1} (n+1)³< 2ⁿ*2 ⇒ (n+1)³ < 2*n³ pierwiastkuję obustronnie, wyłączam wspólny czynnik przez nawias, dzielę przez niego, usuwam niewymierność z mianownika i otrzymuję n > ³√4+³√2+1 szacuje 1<³√4<2 1<³√2<2 ³√4+³√2+1 czyli całe to jest jakoś powyżej 3, pierwsza najbliższa liczba N to 4 Czyli twierdzenie jest prawdziwe dla n>4 co jest oczywiście sprzeczne. Czy mógłby mi Pan pomóc z tym?

Olek: :(

Pytający: "2) krok Zakładam, że ∀_n≥0 zachodzi n³<2ⁿ" Skoro robisz takie założenie, to chyba nie masz już co udowadniać.

Olek: Dobrze, a jak zrobić to z innym założeniem?

Blee: 2) ∀_{n≤k , n∊N} n³ < 2ⁿ tylko pytanie, czy potrzebujesz aby DLA KAŻDEGO n ≤ k to było prawdą w celu wykazania prawdziwości dla 'k+1' czy wystarczy Ci że zachodzi dla 'k'

Olek: Mam sprawdzić przy wykorzystaniu indukcji dla jaki liczb naturalnych zachodzi ten wzór

Blee: Ja się nie pytam co masz zrobić (bo to wiem), ja się CIEBIE pytam, z czego korzystasz w dowodzie (w kroku 3) i to jest pytanie do Ciebie (i Twojego zrozumienia tematu)

Olek: potrzebuję dla każdego

Olek: Czyli cały dowód jest zły?