Równanie mieszanie: trygonometria/logarytmy Patryk: Cześć, mam problem z poniższym zadaniem Rozwiąż równanie:

	1
2cox = logy +
	logy

Doszedłem na razie, że 2cox∊ <−2;2> oraz jest twierdzenie o sumie dodatniej liczby i do niej odwrotnej czyli prawa strona równania ≤ 2. I za podstawiłem za logy = z

	1
z +		= 2 // przyrównałem do 2 bo równania po obydwu stronach mają tylko tą wartość
	z

wspólną z² − 2z + 1 = 0 z = 1 Czyli logy = 1 y = 10 I nie wiem czy robię dalej i nie mam pojęcia co dalej....

xyz: co to jest cox? xD

Patryk: cosx miało być

xyz: nie rozumiem skad zalozenie ze prawa strona <= 2 bo to niekoniecznie jest prawda

Patryk:

	1
Ehh kurde, potrzebuję przerwy od tej matmy XD *poprawka: logy +		≥ 2 dla logy > 0
	logy

xyz: ok, jesli logy > 0, a co jak logy < 0 ?

Patryk: Wtedy <2 ?

xyz: 1^o dla log y > 0

	1
logy +		≥ 2 <−−to jest prawda
	logy

wiec jedyny podejrzany punkt tak jak napisales jest dla 2cosx=2 czyli cosx=1 i wtedy faktycznie z = logy czyli

	1
z +		= 2 −−> z2 − 2z + 1 = 0 −−> (z−1)2 = 0 −−> z = 1
	z

logy = 1 −−> y = 10 czyli dla cosx = 1 −−−> x = 2kπ to mamy y = 10 Teraz przypadek 2) dla log y < 0

Patryk: W drugim przypadku częścią wspólną byłby zbiór <−2;2) czyli dla obydwu stron równania mam rozwiązać równania (≥−2 i <2)?

xyz: dla logy < 0

	1
logy +		<= −2
	logy

czyli tym razem bierzesz cosx = −2

xyz: w sensie 2cosx = −2 *

Patryk: A skąd się bierze to, że jest to ≤ −2?

xyz: mozna to sprawdzic pochodna... inaczej nie mam pomyslu

	1
niech f(z) = z +		dla z < 0
	z

	1		z2−1
wtedy f'(z) = 1 −		=
	z2		z2

	z2−1
f'(z) = 0 −−>		= 0 −−> z = −1 lub z = 1
	z2

po zaznaczeniu miejsc zerowych na osi mamy ze funkcja rosnie az do z=−1 i tu osiaga maximum lokalne potem maleje i znowu rosnie (ale od z=1 a to juz poza dziedzina z < 0) wiec maksimum lokalne jest dla z = −1 i idac na lewo od tego punktu funkcja tylko maleje tzn. f'(z) > 0 dla z ∊ (−∞;−1)

Patryk:

	1		1		1
Czy to z tego, że można to zapisać jako |z +		| >=2 ⇒ z +		>=2 ∧ z +		<=−2
	z		z		z

?

xyz: jak juz to tam znak LUB (v) a nie I (∧)

	1
pytanie czy rownosc |z +		| ≥ 2 jest prawdziwa dla dowolnego z ≠ 0
	z

Patryk: A dobra, to błąd. Po prostu chcę to zrozumieć dlaczego ≤ 2 ale bez pochodnych bo nie miałem ich jeszcze.

xyz:

	1
chcemy zbadac z +		dla z < 0
	z

prawda jest, ze (z + 1)² ≥ 0 to przeksztalcajac rownowaznie z² + 2z + 1 ≥ 0 z² + 1 ≥ − 2z /:z (dziele przez z, ktore jest ujemne, wiec zmieniam znak)

	1
z +		≤ − 2
	z

xyz: znak nierownosci oczywiscie* powinienes zatem dostac rozwiazanie y = 1/10 przy x=π + 2kπ

Patryk: O dobra, już rozumiem w pełni, dzięki wielkie za pomoc