wielomiany salamandra: Wykaż, że równanie x⁸+x²=2(x⁴+x−1) ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste x=1 x⁸+x²=2x⁴+2x−2 x⁸−2x⁴+x²−2x+2 = 0 podzielniki wyrazu wolnego: +− 1, +− 2 W(1) = 1−2+1−2+2 = 0 x=1 jest pierwiastkiem wielomianu W(−1)= 1−2+1+2+2 = 4 W(2) = 256−32+4−4+2 > 0 W(−2)= 256−32+4+4+2 > 0 Tylko x=1 jest pierwiastkiem wielomianu Można w ten sposób to rozwiązać? czy trzeba odpowiednio "zwinąć" równanie równoważnie?

Eta: Można

salamandra: A co gdyby była sytuacja, że jest to taki wielomian, którego pierwiastków nie idzie znaleźć ani podzielnikami wyrazu wolnego, ani za pomocą twierdzenia o pierwiastkach wymiernych− potocznie mówiąc− taki wielomian, które Mariusz lubi rozwiązywać kosmiczną (przynajmniej dla mnie) metodą

ABC: ale ty miałeś polecenie pokazać że nie ma więcej wymiernych czy rzeczywistych? jeśli rzeczywistych to nie wystarczy sprawdzać podzielniki wyrazu wolnego

ABC: narzuca się (x⁸−2x⁴+1)+(x²−2x+1)=0 (x⁴−1)²+(x−1)²=0 i wszystko widać a skoro się narzuca tak trzeba na maturze robić 2 minuty i po ptokach

Mila:

salamandra: Dzięki

jc: (x⁴−1)² + (x−1)²=0 i widać, że jedynym rozwiązaniem rzeczywistym jest 1.