wielomian w(x) = x^3+8x^2-2x-15 ma dwa pierwiastki nalezace do przedziału <-3;3> Asia12: wielomian w(x) = x³+8x²−2x−15 ma dwa pierwiastki nalezace do przedziału <−3;3> . Ustal wszystkie pierwiastki.

Blee: na jakim poziomie jesteś

Asia12: 2 klasa licuem poziom rozszerzony dzial wielomiany

Blee: na pewno TAK DOKŁADNIE wygląda ten wielomian i na pewno masz ustalić wartości wszystkich tych pierwiastków

Asia12: NIE Dokladna ale tak

Blee: to podaj DOKŁADNĄ treść zadania. PS. Pierwiastków TAKIEGO wielomianu nie dasz rady wyznaczyć (patrząc na poziom na którym jesteś)

Mariusz: x³+8x²−2x−15=0

	8		8		64		512
(x+		)3=x3+3x2		+3x		+
	3		3		9		27

	8		64		512
(x+		)3=x3+8x2+		x+
	3		3		27

	8		70		8		64		512		70		560
(x+		)3−		(x+		)=x3+8x2+		x+		−		x−
	3		3		3		3		27		3		3

	8		70		8		512−1680
(x+		)3−		(x+		)=x3+8x2−2x+
	3		3		3		27

	8		70		8		1168
(x+		)3−		(x+		)=x3+8x2−2x−
	3		3		3		27

	8		70		8		763		1168		763
(x+		)3−		(x+		)+		=x3+8x2−2x−		+
	3		3		3		27		27		27

	8		70		8		763
(x+		)3−		(x+		)+		=x3+8x2−2x−15
	3		3		3		27

	8
Niech y=x+
	3

	70		763
y3−		y+		=0
	3		27

Teraz po wyrugowaniu wyrazu z x² masz do wyboru dwa podstawienia Podstawienie którego używał Vieta

	70		763
y3−		y+		=0
	3		27

	70		763
y3−		y=−		|z3
	3		27

	70		763
y3z3−		yz3=−		z3
	3		27

	70		763
y3z3−		z2(yz)=−		z3
	3		27

	70
z2+yz=−
	9

	70
yz=−		−z2
	9

	70		70		70		763
(−		−z2)3−		z2(−		−z2)=−		z3
	9		3		9		27

	70		70		70		763
−(		+z2)3+		z2(		+z2)=−		z3
	9		3		9		27

	343000		14700		210		4900		70		763
−		−		z2−		z4−z6+		z2+		z4=−		z3
	27		81		9		27		3		27

	343000		4900		70		4900		70		763
−		−		z2−		z4−z6+		z2+		z4=−		z3
	27		27		3		27		3		27

	343000		763
−		−z6=−		z3
	27		27

	763		343000
z6−		z3+		=0
	27		27

lub podstawienie które łatwiej uogólnić na równanie czwartego stopnia

	70		763
y3−		y+		=0
	3		27

y=u+v (u+v)³=u³+3u²v+3uv²+v³ (u+v)³=u³+v³+3uv(u+v)

	70		763
u3+v3+3uv(u+v)−		(u+v)+		=0
	3		27

	763		70
u3+v3+		+3(u+v)(uv−		)=0
	27		9

	763
u3+v3+		=0
	27

	70
uv−		=0
	9

	763
u3+v3=−
	27

	70
uv=
	9

	763
u3+v3=−
	27

	4900
u3v3=
	729

Powyższy układ to wzory Vieta pewnego równania kwadratowego

	763		4900
t2+		t+		=0
	27		729

Gdy policzysz wyróżnik tego trójmianu to okaże się on ujemny i gdybyś chciała dalej liczyć metodą algebraiczną to musiałabyś użyć liczb zespolonych Jest jednak metoda która nie wymaga liczb zespolonych, korzysta ona z trygonometrii

Blee: Mariusz ... a teraz zrób to samo ale na poziomie 2 KLASY LICEUM

Mariusz:

	70		763
y3−		y+		=0
	3		27

	70		763
y3−		y=−
	3		27

Wyprowadźmy wzór na cos(3θ) cos(2θ)=cos((θ+θ)) cos(θ+θ)=cos(θ)cos(θ)−sin(θ)sin(θ) cos(2θ)=cos²(θ)−sin²(θ) cos(2θ)=cos²(θ)−(1−cos²(θ)) cos(2θ)=2cos²(θ)−1 sin(2θ)=sin((θ+θ)) sin(θ+θ)=sin(θ)cos(θ)+cos(θ)sin(θ) sin(2θ)=2sin(θ)cos(θ) cos(3θ)=cos(θ+2θ) cos(θ+2θ)=cos(θ)cos(2θ)−sin(θ)sin(2θ) cos(3θ)=cos(θ)(2cos²(θ)−1)−sin(θ)(2sin(θ)cos(θ)) cos(3θ)=cos(θ)(2cos²(θ)−1)−2cos(θ)sin²(θ) cos(3θ)=cos(θ)(2cos²(θ)−1)−2cos(θ)(1−cos²(θ)) cos(3θ)=2cos³(θ)−cos(θ)−2cos(θ)+2cos³(θ) cos(3θ)=4cos³(θ)−3cos(θ)

	70		763
y3−		y=−
	3		27

y=ucos(θ)

	70   u 3		3
−		=−
	u3		4

70	1		3
		=
3	u2		4

70		3
	=		u2
3		4

70	4
		u2
3	3

	2
u=		√70
	3

	2
y=		√70cos(θ)
	3

27		560		140		763
	(		√70cos3(θ)−		√70cos(θ)=−		)
140√70		27		9		27

	763	27
4cos3(θ)−3cos(θ)=−
	27	140√70

	−763√70
4cos3(θ)−3cos(θ)=
	9800

	−763√70
cos(3θ)=
	9800

	763√70
3θ1=π−arccos(		)
	9800

	763√70
3θ2=3π−arccos(		)
	9800

	763√70
3θ3=5π−arccos(		)
	9800

	2		1		109√70
y1=		√70cos(		(π−arccos(		)))
	3		3		1400

	2		1		109√70
y2=		√70cos(		(3π−arccos(		)))
	3		3		1400

	2		1		109√70
y3=		√70cos(		(5π−arccos(		)))
	3		3		1400

	2		1		109√70		8
x1=		√70cos(		(π−arccos(		)))−
	3		3		1400		3

	2		1		109√70		8
x2=		√70cos(		(3π−arccos(		)))−
	3		3		1400		3

	2		1		109√70		8
x3=		√70cos(		(5π−arccos(		)))−
	3		3		1400		3

gdzie arccos(x) jest funkcją odwrotną do funkcji cos(x)

Mariusz: Blee: Ja jeszcze miałem w liceum wszystko potrzebne do wyprowadzenia ogólnej metody dla równań trzeciego stopnia Niestety tzw przypadek nieprzywiedlny musiał być rozwiązany z użyciem funkcyj trygonometrycznych