Równanie różniczkowe kowall: Równanie różniczkowe 2 rzędu: 2y'' −5y' +2 = 0

Mokry: Mam że y=C₁ + C₂⁽5x/2) ale w sumie nie jestem pewny

xyz: 2r² −5r + 2 = 0 Δ = 25 − 4*2*2 = 9 > 0

	5−3		1
r1 =		=
	4		2

r₂ = 2 zatem y = C₁e^1/2x + C₂e^2x (wzor ogolny dla Δ>0 to y=C₁e^r₁*x + C₂e^r₂*x)

xyz: wroc tak by bylo gdyby bylo +2y a nie +2...

xyz: 2y" −5y' + 2 = 0 niech p = y' wtedy p' = y", czyli 2p' −5p + 2 = 0 2p' = 5p − 2 /:(5p−2)

2p'
	= 1 / ∫
5p−2

	2 dp		dp
∫		= ∫ 1 dx (zauwaz dx, a nie dp, oraz p' =		, wiec calka usunie dx)
	5p−2		dx

	dp
2 ∫		= x + C1
	5p−2

	dp
te calke ∫		mozna podstawieniem
	5p−2

t = 5p − 2 dt = 5 dp

dp

1   dt 5

1

1

1

1

a wiec ∫

= ∫

=

∫

dt =

ln |t|=

ln |5p−2|

5p−2

t

5

t

5

5

oczywiscie + C₂ na koncu czyli wracajac do

	dp
2 ∫		= x + C1
	5p−2

mamy

	1
2 *		ln |5p−2| + C2 = x + C1
	5

2
	ln |5p−2| = x + C3 / * 5/2
5

	5
ln |5p−2| =		x + C4
	2

e^{5/2 x + C₄} = 5p − 2 e^5/2x + C₅ = 5p − 2

	e5/2x + C5 + 2		e5/2x + C6
p =		=
	5		5

	dy
skoro p = y' =		to ∫ p dx = y (a my wlasnie igrek chcemy znalezc)
	dx

no to jedziemy

	e5/2x + C6		1
∫		dx =		∫ (e5/2 x + C6) dx = ...
	5		5

calka z e^{5/2 x} albo przez podstawienie, albo z wiedzy o pochodnej np. pochodna z e^{5/2 x} to 5/2 * e^{5/2 x}, wiec calka z

	2
e5/2 x to bedzie		e5/2x + C7 (bo odwrotnosc 5/2 to 2/5)
	5

natomiast calka ze stalej C₆ to bedzie C₆x + C₈

	1		2
... =		(		e5/2x+C7 + C6x + C8) =
	5		5

	1		2
=		(		e5/2x + C6x + C9) =
	5		5

	2
=		e5/2x + C10x + C11
	25

Tak mi wyszlo, ale to chyba jest bledne Przywoluje jc aby spojrzal na to zadanko xd