Znaleźć punkt Q symetryczny do punktu P = (3, -1, -11) względem prostej Ekierka33: Znaleźć punkt Q symetryczny do punktu P = (3, −1, −11) względem prostej l: x−3y−3z−5=0 x+3z−2=0 Bardzo proszę o rozwiązanie krok po kroku bo już 3 godziny nad tym zadaniem siedzę Z góry dziękuję

Blee: 1) 'wyciągamy' wektor normalny płaszczyzny prostopadłej do tejże prostej 2) piszemy wzór płaszczyzny (o takim wektorze normalnym) zawierającej punkt P 3) wyznaczamy punkt przecięcie się prostej l z tą płaszczyzną (oznaczmy go jako O) i teraz np. 4) wyznaczamy wektor PO 5) wyznaczony wektor 'zahaczamy' w punkcie O i koniec wektora wskazuje nam szukany punkt Q KOOONIEC

Ekierka33: Próbuję, ale nie wychodzi

Blee: Ale co próbujesz? Co nie wychodzi? Konkretnie. I pokaż swoje obliczenia

Ekierka33: 1. Robie macierz: i j k 1 −3 −3 1 0 3 Z sarrusa wychodzi −9i−3j+3k−3j=−9i−6j+3k=(−9,−6,3) 2. Szukam punktu leżącego na prostej M=(2,−1,0) 3. Tworzę równanie parametryczne prostej l: x=2−9t y=−1−6t z=3t 4. Wyznaczam P' P'=(2−9t, 1−6t, 3t) 5. → PP' = (2−9t−3,1−6t+1, 3t+11) ⇒ (−1−9t , 2−6t , 3t+11) 6. PP' jest prostopadła do (−9 , −6 , 3) ⇔ (−1−9t , 2−6t , 11+3t) o (−9,−6,3) =0 7. Obliczam t 9+81t−12+36t+33+9t=0 126t=42 t=1/3 8. P'=(2−3, 1−2, 1) P'=(−1, −1, 1) i jest środekiem PQ ⇔ −1=(3+Xq)/2 Xq=5 −1=(−1+Yq)/2 Yq=−1 1=(−11+Zq)/2 Zq=13 Wynik jest błędny. Powinno wyjść Q=(7,3,9) Nie wiem gdzie robię błąd, dlatego bardzo bym prosiła o wytłumaczenie krok po kroku tak jak ja napisałam wyżej. Z góry bardzo dziękuję

Bleee: Wylicz jeszcze raz t. Winna wyjść t = − 1/3 o ile się nie mylę.

Bleee: Chociaż nie, dobrze. +1/3

Ekierka33: I właśnie potem z jakiegoś powodu wychodzi zły wynik i dlatego jestem już głupia

Bleee: Punkt P'(−1, − 1,1) nie należy do prostej − − − − 1 +3 − 3 − 5 ≠ 0 (pierwsze równanie) A nawet jeśli by należał to jakim cudem

	3+5
−1 =
	2

Mila: l: x−3y−3z−5=0 x+3z−2=0 =========== z=t, t∊R x−3y=5+3t x=2−3t ===== l: x=2−3t y=−1−2t z=t, t∊R k^→=[−3,−2,1] wektor kierunkowy prostej 2) A=(2−3t,−1−2t,t)− dowolny punkt prostej l P = (3, −1, −11) PA^→⊥k^→ PA^→=[−1−3t,−2t,11+t] [−1−3t,−2t,11+t]o [−3,−2,1]=0 t=−1 A'=(5,1,−1) − rzut punktu P na prostą, środek PQ Q=(x,y,z)

	3+x
5=
	2

	−1+y
1=
	2

	−11+z
−1=
	2

Q=(7,3,9) Spr. Zaraz znajdę błąd w Twoich obliczeniach

Mila: PP' ^→= (2−9t−3,−1−6t+1, 3t+11) ⇒ (−1−9t , −6t , 3t+11) Teraz licz

Ekierka33: Mila, nie bardzo rozumiem Twój zapis x−3y=5+3t, nie rozumiem dlaczego tak zrobiłaś? Próbowałam sama jeszcze raz z poprawionym PP'^→ ale nadal wychodzi źle. Zaczynam się poddawać

Mila: Twój sposób też dobry. Popraw ten błąd i wyjdzie. Zaraz wyjaśnię: z równania krawędziowego przechodzę do parametrycznego tak: Masz układ równań: 1) l: x−3y−3z−5=0 x+3z−2=0 (dwa równania , 3 niewiadome− rozwiązań jest nieskończenie wiele) 2) Ustalam, że z traktuję jako parametr: z=t x−3y−3t−5=0 x+3t−2=0 ===⇔ 3) z=t, x−3y=3t+5 x=2−3t === 4) teraz podstawiam do I równania 2−3t−3y=3t+5⇔y=−1−2t ============= l: x=2−3t y=−1−2t z=t t∊R [−3,−2,1] || [−9,−6,3]

Mila: DokończyćTwoim sposobem? Niewiele się różni od mojego.

Mila: 4. Wyznaczam P' P'=(2−9t, −1−6t, 3t) P=(3, −1, −11) PP'=[2−9t−3, −1−6t+1, 3t+11]=[−1−9t,−6t,3t+11] k^→=[−9,−6,3] [−9,−6,3]o [−1−9t,−6t,3t+11]=9+81t+36t+9t+33 126t+42=0

	1
t=−
	3

P'=(2+3, −1+2, −1)=(5,1,−1)− rzut punktu P na prostą, środek PQ Q=(x,y,z)

	x+3		−1+y		−11+z
5=		, 1=		, −1=
	2		2		2

10=x+3 2=−1+y −2=−11+z ===== x=7 y=3 z=9 Q=(7,3,9) spr. PQ^→=[7−3 , 3 +1, 9+11]=[4,4,20] [4,4,−2]o [−9,−6,3]=−36−24+60=0 wszystko się zgadza.

Ekierka33: Ojej, faktycznie BARDZO CI DZIĘKUJĘ MILA

Mila: Chyba powinnaś trochę pospacerować, za długo siedzisz w domu Powodzenia w dalszych zmaganiach z GA.