Ekstrema funkcji 2 zmiennych albi: Zbadaj ekstrema funkcji oraz je wyznacz jeżeli istnieją f(x,y)=(x−y)²+(y−1)³ Przyznam szczerze że mam problem z funkcjami dla których wyznacznik wychodzi zero. Czy ktoś mógłby podpowiedzieć co powinienem robić w takich przypadkach?

jc: Przecież widać, że mamy minimum lokalne (globalne) dla x=y=1. Jest to jedyne ekstremum rozważanej funkcji.

albi: Ja tego nie widzę niestety, poza tym czemu (1,1) jest minimum globalnym jeżeli f(1,1) = 0 a np f(0,0) = −1

jc: Oj, przepraszam, nie zauważyłem, że tam jest 3, a nie 2. W takim razie nie będzie żadnego ekstremum. Załóżmy, że mamy ekstremum w punkcie (x₀, y₀). f(x₀+t, y₀−t) < f(x₀,y₀) < f(x₀+t, y₀+t) dla dowolnie małych dodatnich t. Sprzeczność. A jak chcesz możemy sprawdzić studencką procedurę. f_x=2(x−y) f_y=−2(x−y)+3(y−1)² f_x=0, f_y=0 daje x=y=1 f_xx=2, f_xy=−2, f_yy= 2 + 6(y−1)=2 wyznacznik = 0, cóż, ta metoda nie da odpowiedzi.

albi: Mógłbyś dokładniej wytłumaczyć tą nierówność jeżeli można prosić