trygonometria ORZEŁ: Tym razem ja potrzebuje pomocy − trygonometria prosze o pomoc w dokończeniu dla jakich m równanie ma przynajmniej jedno rozwiazanie sin⁴x−cos⁴x= 6m − cos²x po przekształceniu tego równania otrzymałem 2sin⁴x−2sin²xcos²x=6m korzystam z jedynki 4sin⁴x−2sin²x=6m 2sin⁴x−sin²x−3m=0 równanie ma co najmniej jedno rozwiazanie gdy Δ≥0

	1
Δ=1+24m → m≥ −
	24

i brakuje mi kolejnego założenia domyślam się że byćmoże chodzi o ograniczony zbiór wartości lecz nie mam pomysłu. Prosze o pomoc

	1		1
poprawna odp <−		,		>
	24		3

Godzio: dobrze przepisany przykład ? bo mi wyszło tak: (1−cos²x)² − cos⁴x + cos²x = 6m (1−cos²x)² + cos²x(−cos²x+1) = 6m (1−cos²x)² + cos²x(1−cos²x) = 6m (1−cos²x)(1−cos²x + cos²x) = 6m 1 − cos²x = 6m sin²x = 6m

Godzio: i tak samo bazując na sin sin⁴x − (1−sin²x)² + 1−sin²x = 6m sin⁴x − 1 +2sin²x − sin⁴x + 1 − sin²x =6m sin²x = 6m

ORZEŁ: ah, źle przepisałem przykład, przepraszam jeżeli kogoś wprowadziłem w bład sin⁴x−cos⁴x=6m−cos²2x

ORZEŁ: ?

ORZEŁ: odświeżam

ORZEŁ: czy potrafi ktoś pomóc

ORZEŁ: ?

s: ∩ | | | | | | | | O O 8====∌

ORZEŁ: nudzi ci sie

Sabin: po pierwsze, Δ mozesz liczyc wtedy gdy zrobisz sobie rownanie kwadratowe. Czyli podstawiamy t = sin²x i rownanie sprowadza sie do: 2t² − t − 3m = 0 Δ ≥ 0 to pierwszy warunek, z postaci t wynika, ze 0 ≤ t ≤ 1 czyli ostatecznie Δ ≥ 0 t ≥ 0 t ≤ 1 Rozwiaz warunek na te nierownosci, powinienes dostac to co chcesz.

Julek: Twoje przyrodzenie nie należy do dziedziny sin⁴x−cos⁴x= 6m − cos²x Wiemy, że cos²x = 1 − sin²x, więc... sin⁴x − (1−sin²x)² = 6m − 1 + sin²x sin⁴x − (1 − 2sin²x + sin⁴x) = 6m − 1 + sin²x sin²x = 6m Teraz wiemy, że sinx ∊ <−1;1>, więc... sin²x ∊ < −1;1>

	1
6m≥−1 ⇒ m ≥ −
	6

	1
6m≤1 ⇒ m ≤
	6

	1		1
m∊ < −		;		>
	6		6

ORZEŁ: no tak, ale w jaki sposób rozwiazać sin²x≤1 Pomożesz

ORZEŁ: Julku niestety na poczatku popełniłem bład w zapisie który później skorygowałem sin⁴x−cos⁴x=6m−cos²2x

Julek: świetnie! Dopiero teraz zauważyłem, że źle przykład zapisałeś sin⁴x−cos⁴x=6m−cos²2x sin⁴x−cos⁴x=6m−(cos2x)² sin⁴x−cos⁴x=6m−(1−2sin²x)² sin⁴x−(1−sin²x)²=6m−(1−2sin²x)² 2sin²x =6m +4sin²x − 4sin⁴x 4sin⁴x − 2sin²x − 6m = 0 t = sin²x, t∊<−1;1> 4t² − 2t − 6m = 0 Δ_t≥0 4 − 96m ≥ 0 4 ≥ 96m

1
	≥ m
24

ORZEŁ: no właśnie do tegi ja też doszedłem ( zapisałem to ) tylko teraz co dalej, bo odpowiedz do zadania jest troche inna. Trzeba skorzystać zapewne z własności że sin jest od <−1 , 1>

Julek: No stary... sin²x ≤ 1 to jest to samo co |sinx| ≤ 1 sinx ≤ 1 ⋀ sinx ≥ − 1 więc sinx∊<−1;1>

Julek: a jaką masz odpowiedź ?

ORZEŁ: odp.

	−1		1
<		,		>
	24		3

Sabin: Nie rozwiązujesz równania 0 ≤ sin²x ≤ 1 tylko 0 ≤ t ≤ 1 Wypisujesz wzory na pierwiastki t₁ i t₂ i wtedy: 0 ≤ t₁ ≤ 1 lub 0 ≤ t₂ ≤ 1

Julek: Myślę, że to mogą być wzory Viete'a t₁ ≤ 1 t₂ ≤ 1 t₁ ≥ −1 t₂ ≥ −1 Wykorzystaj tę nierówności i sprowadź do postaci iloczynu i sumy dwóch pierwiastków i zastosuj

	−b		c
wzorki Viete'a ( dla x1 + x2 =		, dla x1x2 =		)
	a		a

Jeśli będziesz miał kłopoty to pisz, a jutro Ci odpowiem. Tymczasem zwijam się i dobranoc

ORZEŁ: właśnie tak zrobiłem i zastanawia mnie jedna rzecz

	1−√1+24m
0≤		≤1 /*4
	4

0 ≤1−√1+24m≤ 4 −1 ≤ −√1+24m≤ 3 i teraz dalej sie zastanawiam czy to dobrze robie 1≥ √1+24m ≥ −3 i ten moment − podnosze do kwadratu 1≥ 1+24m ≥ 0 m=0 ten przypadek mnie tylko zastanawia

Sabin: Rozbijasz na 2 nierówności, 1.≥ √1+24m => m ≤ 0 √1+24m ≥ −3 => spełnione dla m ∊ D_m, czyli m ≥ −¹₂₄ z tego przypadku masz m ∊ < −¹₂₄, 0 > Robisz drugi przypadek, bierzesz sumę zbiorów i po ptakach.

Sabin: Mała poprawka, w pierwszej nierówności oczywiście m ≤ 0 i m ≥ −1/24