udowodnij salamandra: Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a i b prawdziwa jest nierówność Przekształcam równoważnie:

1		1		2
	+		≥
2a		2b		a+b

b		a		2
	+		≥
2ab		2ab		a+b

a+b		2
	−		≥ 0
2ab		a+b

(a+b)(a+b)−2(2ab)
	≥ 0
2ab(a+b)

a2+ab+ab+b2−4ab
	≥0 / * 2ab(a+b)
2ab(a+b)

a²−2ab+b²≥0 (a−b)²≥0 − kwadrat dowolnej liczby jest ≥ 0 Moje pytanie, czy w trzeciej linijce od końca mogę w taki sposób pozbyć się mianownika wiedząc, że jest on dodatni?

Blee: tak aczkolwiek szybciej by było szybciej wykonać to mnożenie:

a+b		2
	≥		//*2ab(a+b)
2ab		a+b

(a+b)² ≥ 4ab (a+b)² − 4ab ≥ 0 (a−b)² ≥ 0

salamandra: No racja, dzięki jest też taka alternatywa, że mógłbym napisać, że skoro a>0 i b>0, to ten ułamek jest większy od zera ⇔ gdy licznik jest ≥0, ponieważ mianownik jest zawsze dodatni?

Saizou : też tak można

Saizou : można też tak z nierówności między średnimi Am ≥ Hm

2a+2b		2
	≥
2		1   1   + 2a   2b

1		1		2
	+		≥
2a		2b		a+b

PW: Ostatnio podoba mi się metoda sprowadzania nierówności dwóch zmiennych do nierówności jednej zmiennej. Dla a, b > 0 można podstawić b = ka, k> 0, wtedy badana nierówność ma postać

1		1		2,
	+		≥
2a		2(ka)		a + ka

i równoważnie

1		1		2	1
	(1+		) ≥
2a		k		a	1+k

(wykorzystaliśmy założenie a > 0)

	1		4
1+		≥
	k		1+k

(k+1)² ≥ 4k (wykorzystaliśmy założenie k > 0 i wynikający z niego fakt, że k+1 > 0) k² + 2k +1 ≥ 4k k² − 2k + 1 ≥ 0 (k − 1)² ≥ 0 Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla wszystkich k, co oznacza prawdziwość równoważnej jej badanej nierówności. W gruncie rzeczy to samo co zrobili Koledzy wyżej, ale może być "łatwiejsze" (co jedna zmienna, to nie dwie).