Całka oznaczona Meumann: Oblicz całkę oznaczoną: (od 0 do +∞) ∫ (e^x)/(1+x^2x) dx Miałem to zadanie na kolokwium, lecz w jakikolwiek kalkulator wpiszę zawsze dostaję informację, że całki tej nie da się obliczyć. Kalkulatory są wadliwe, czy ta całka naprawdę jest nie do obliczenia?

Blee: tak ... ta całka będzie rozbieżna ... i zapewne takiej właśnie odpowiedzi oczekiwał wykładowca

Blee: tfu ... tam jest x^2x wtedy ta całka jest zbieżna

Blee: jednak całki nieoznaczonej raczej nie wyznaczysz. Musisz zastosować inną metodę wyliczenia pola

jc:

	ex		1		2		1		dx
∫		dx =		∫		dx =		∫		=
	1+e2x		2		ex+e−1		2		ch x

	1		sh x dx		1		dy		1		1
=		∫		=		∫		=		arctg y =		arctg sh x
	2		1+sh2 x		2		1+y2		2		2

(podstawie y = sh x).

jc: Poprawiam błędy (pomijam 1/2).

	2 dx		dx		(sh x)' dx		dy
... = ∫		= ∫		= ∫		= ∫		= ...
	ex + e−x		ch x		1+ sh2x		1+y2

jc:

	π
Całka nieoznaczona =
	4

Meumann: @jc w mianowniku jest x^2x, a nie e^2x

jc: Każdy program Ci policzy. Oczywiście można było podstawić y=e^x, ale ja lubię funkcje hiperboliczne i podstawiłem y =sh x.

Meumann: Właśnie problem w tym, że każdy program mi tego nie liczy, w innym przypadku nie byłoby tematu

jc: Faktycznie. No raczej pozostaje stwierdzić, że całka istnieje. Dla x ≤ e, wstawiamy 0 w miejsce x^2x, a dla x≥e wstawiamy e^2x. Nowa funkcja ma przyjmuje większe wartości niż oryginalna, a na dodatek jest całkowalna. Dlatego oryginalna funkcja (ciągła o wartościach dodatnich) też jest całkowalna.