metoda operatorowa, Tw laplacea kers02: Witam potrzebuję pomocy z zadaniem. Rozwiązać zagadnienie początkowe metodą operatorową: y''''−7y'''+11y''+7y'−12y=0 y'(0)=1 y''(0)=−1 y'''(0)=1 Wiem że trzeba użyć tw laplace, ale nie weim za bardzo jak

kers02: nie wiem czy dobrze zapisuję, rozwinąłem to do s⁴ * L(y) − s³ * y(0) − s² * y(0) − s*y(0) i y(0) = 0 czy tak powinno być czy gdzieś powinny się pojawić "primy, bisy itp"?

Mariusz: Aby upewnić się gdzie powinny być "primy" i "bisy" scałkuj przekształcenie Laplace przez części ∫y⁽ⁿ⁾(t)e^−stdt=y⁽ⁿ⁻¹⁾(t)e^−st|₀^∞−∫₀^∞y⁽ⁿ⁻¹⁾(−se^−st)dt ∫y⁽ⁿ⁾(t)e^−stdt=0−y⁽ⁿ⁻¹⁾(0⁺)+s∫₀^∞y⁽ⁿ⁻¹⁾e^−stdt L(y⁽ⁿ⁾(t))=−y⁽ⁿ⁻¹⁾(0⁺)+sL(y⁽ⁿ⁻¹⁾(t)) L(y⁴(t))=−y'''(0⁺)+sL(y'''(t)) L(y⁴(t))=−y'''(0⁺)+s(−y''(0⁺)+sL(y''(t))) L(y⁴(t))=−y'''(0⁺)−sy''(0⁺)+s²L(y''(t)) L(y⁴(t))=−y'''(0⁺)−sy''(0⁺)+s²(−y'(0⁺)+sL(y'(t))) L(y⁴(t))=−y'''(0⁺)−sy''(0⁺)−s²y'(0⁺)+s³L(y'(t)) L(y⁴(t))=−y'''(0⁺)−sy''(0⁺)−s²y'(0⁺)+s³(−y(0⁺)+sL(y(t))) L(y⁴(t))=−y'''(0⁺)−sy''(0⁺)−s²y'(0⁺)−s³y(0⁺)+s⁴L(y(t)) (−1+s−s²−Cs³)+s⁴Y(s)−7(1−s−Cs²)−7s³Y(s)+11(−1−Cs)+11s²Y(s)−7C+7sY(s)−12Y(s)=0 (s⁴−7s³+11s²+7s−12)Y(s)−7C−19+(−11C+8)s+(7C−1)s²−Cs³=0 (s⁴−7s³+11s²+7s−12)Y(s)=Cs³+(−7C+1)s²+(11C−8)s+7C+19

	Cs3+(−7C+1)s2+(11C−8)s+7C+19
Y(s)=
	s4−7s3+11s2+7s−12

s⁴−7s³+11s²+7s−12=0 (s⁴−7s³)−(−11s²−7s+12)=0

	49		5
(s4−7s3+		s2)−(		s2−7s+12)=0
	4		4

	7		5
(s2−		s)2−(		s2−7s+12)=0
	2		4

	7		y		5		7		y2
(s2−		s+		)2−((y+		)s2+(−		y−7)s+		+12)=0
	2		2		4		2		4

	5		7
(y2+48)(y+		)−(−		y−7)2=0
	4		2

	5		49
(y3+		y2+48y+60)−(		y2+49y+49)=0
	4		4

y³−11y²−y+11=0 y²(y−11)−1(y−11)=0 (y−11)(y²−1)=0

	7		1		9		21		49
(s2−		s+		)2−(		s2−		s+		)
	2		2		4		2		4

	7		1		3		7
(s2−		s+		)2−(		s−		)2=0
	2		2		2		2

	7		1		3		7		7		1		3		7
((s2−		s+		)−((		s−		)))((s2−		s+		)+((		s−		)))=0
	2		2		2		2		2		2		2		2

(s²−5s+4)(s²−2s−3)=0 (s−1)(s−4)(s+1)(s−3)=0

	Cs3+(−7C+1)s2+(11C−8)s+7C+19
Y(s)=
	s4−7s3+11s2+7s−12

	Cs3+(−7C+1)s2+(11C−8)s+7C+19
Y(s)=
	(s−1)(s−4)(s+1)(s−3)

	A		B		C		D
Y(s)=		+		+		+
	s−1		s−4		s+1		s−3

1 −7 11 7 −12 1 1 −6 5 12 0 A(s³−6s²+5s+12) 1 −7 11 7 −12 4 1 −3 −1 3 0 B(s³−3s²−s+3) 1 −7 11 7 −12 −1 1 −8 19 −12 0 C(s³−8s²+19s−12) 1 −7 11 7 −12 3 1 −4 −1 4 0 D(s³−4s²−s+4) A(s³−6s²+5s+12)+B(s³−3s²−s+3)+C(s³−8s²+19s−12)+D(s³−4s²−s+4)= Ks³+(K+1)s²+(11K−8)s+7K+19 A+B+C+D=K −6A−3B−8C−4D=−7K+1 5A−B+19C−D=11K−8 12A+3B−12C+4D=7K+19 1 1 1 1 1 0 0 0 −6 −3 −8 −4 0 1 0 0 5 −1 19 −1 0 0 1 0 12 3 −12 4 0 0 0 1 3 3 3 3 3 0 0 0 0 3 −2 2 6 1 0 0 0 −6 14 −6 −5 0 1 0 0 −9 −24 −8 −12 0 0 1 6 0 10 2 −6 −2 0 0 0 15 −10 10 30 5 0 0 0 0 10 −2 7 2 1 0 0 0 −30 −2 6 3 0 1 12 0 0 8 −26 −8 −2 0 0 15 0 8 37 7 1 0 0 0 40 −8 28 8 4 0 0 0 0 −8 27 9 3 1 12 0 0 0 1 1 1 1 0 15 0 0 64 16 4 1 0 0 40 0 1 −1 1 −1 0 0 0 −8 27 9 3 1 120 0 0 0 10 10 10 10 0 120 0 0 512 128 32 8 0 0 120 0 3 −3 3 −3 0 0 0 120 −405 −135 −45 −15 A⁻¹=

10		10		10		10
120		120		120		120

512		128		32		8
120		120		120		120

3		−3		3		−3
120		120		120		120

−405		−135		−45		−15
120		120		120		120

A+B+C+D=K −6A−3B−8C−4D=−7K+1 5A−B+19C−D=11K−8 12A+3B−12C+4D=7K+19

	1		1		1		1
A=		K+		(−7K+1)+		(11K−8)+		(7K+19)
	12		12		12		12

A=K+1

	64		16		4		1
B=		K+		(−7K+1)+		(11K−8)+		(7K+19)
	15		15		15		15

	1		1
B=		K+
	5		5

	1		1		1		1
C=		K−		(−7K+1)+		(11K−8)−		(7K+19)
	40		40		40		40

	3		7
C=		K−
	10		10

	−27		9		3		1
D=		K−		(−7K+1)−		(11K−8)−		(7K+19)
	8		8		8		8

	1		1
D=−		K−
	2		2

	1		131		1		1
Y(s)=(K+1)		+(		K+		)
	s−1		15		5		s−4

	1		7		1		19		1		1
+(		K−		)		+(−		K−		)
	10		10		s+1		2		2		s−3

	5		1		1
y(t)=(		K+1)et+(		K+		)e4t+
	3		5		5

	3		7		1		1
(		K−		)e−t−(		K+		)e3t
	10		10		2		2

Macierz odwrotna jest o tyle wygodna że jeśli pomylisz się przy wyznaczaniu wektora wyrazów wolnych (jak mi się to zdarzyło) to łatwo rozwiążesz układ z poprawnym wektorem wyrazów wolnych Nie podałeś wartości y(0) więc przyjąłem że jest ona równa pewnej stałej

Mariusz:

	1		1		3		7		1		1
y(t)=(K+1)et+(		K+		)e4t+(		K−		)e−t − (		K+		)e3t
	5		5		10		10		2		2

Nie poprawiłem wszystkiego po mojej ostatniej pomyłce