matematyka dyskretna Marcin: udowodnić indukcyjnie dla każdego N, 2ⁿ⁺¹ ≥n²+2 i na wykładzie było prowadzone takie rozumowanie najpierw za n=0 potem n−1 2ⁿ ≥ (n−1)² + 2 /*2 2ⁿ⁺¹ ≥ (n² + 2) + (n − 2)² i potem nagle 2ⁿ⁺¹ ≥ (n² + 2) i że udowodnione... a ja nie potrafię zrozumieć gdzie znikło to (n − 2)²

Blee: to 'potem nagle' to akurat nic dziwnego ... mnie zastanawia przejście wcześniej (n−2)² ≥ 0 więc skoro liczba jest ≥ a² + (n−2)² ... to tym bardziej ta liczba będzie ≥ a², co nie

Blee: ach już wiem 2(n−1)² + 4 = 2n² − 4n + 2 + 4 = (n−2)² + (n²+2) <−−− stąd ta linijka

Marcin: też już zrozumiałem ^^

Marcin: chociaż nie, jednak nie rozumiem... bo przez to mamy po prawej stronie liczbę większą niż początkowo...

Marcin: :'(

Blee: no to może tak: 4 ≥ 2 + 1 więc 4 ≥ 2 czyż nie Ananlogiczne rozumowanie zostało tutaj przeprowadzone

Marcin: jakoś nie mogę się przekonać do tego ...

Marcin: tzn. do tego co napisałaś/eś nie ma się co przyczepić

Blee: 2ⁿ⁺¹ = 2*2ⁿ ≥ // // ≥ 2( (n−1)² + 2) = 2(n−1)² + 4 = n² + 2 + (n−2)² ≥ n² + 2 więc wykazaliśmy, że 2ⁿ⁺¹ ≥ n² + 2

Blee: a Ty masz wątpliwości co do ostatniej nierówności w powyższym rozumowaniu

Marcin: ale czemu to znika?

Blee: bo jest to wyrażenie nieujemne ... a nam tylko 'zawadza' to tak samo jakbyś miał za zadanie: udowodnij że 4 > 2 i z obliczeń wychodzi Ci 4 > 2 + x² .... w takim razie prawdą także jest, że 4 > 2 (no bo przecież jest większe od 2 'plus coś nieujemnego')

Blee: To jest zwykłe szacowanie. dla a,b,c ≥ 0 prawdą jest, że a+b ≥ a więc: c ≥ a+b ⇒ c ≥ a

Marcin: ale w przypadku 4 > 2 + x² i x²≥2 to nierównośc już nie jest spełniona i własnie to mi cały czas niszczy całą koncepcję tego podobnie w 2ⁿ⁺¹ ≥ (n² + 2) + (n − 2)² (n − 2)² może być dostatecznie duże że nierówność nie będzie już spełniona, czy nie?

Blee: nie rozumiesz my WIEMY że 4 > 2 + x² ... koniec kropka ... to jest pewne tak samo że WIEMY że 2ⁿ⁺¹ ≥ (n²+2) + (n−2)² ... ta nierówność zachodzi i o tym wiemy, że zachodzi

Blee: zobacz skąd (w jaki sposób) doszliśmy do tej nierówności

Marcin: i wszystko jasne dziękuję