Analityczna dla mateurzystów Saizou : Wrzucam zadanka z g. analitycznej, ale nie mogę dzisiaj za bardzo pomagać, ale zachęcam maturzystów do rozwiązywania. Zad 1 Punkt A=(15, −5) jest wierzchołkiem trójkąta prostokątnego o kącie prostym przy wierzchołku B, opisanego na okręgu ²+y²=25. Wyznacz wierzchołki B i C tego trójkąta, wiedząc, że jego przeciwprostokątna jest równoległa do osi OX. Zad 2 Punkt A=(2, 1) należy do okręgu stycznego do osi OX w punkcie B=(−1, 0). Wyznacz równanie tego okręgu. Dla jakiej wartości parametru a prosta x−at+4=0 nie ma punktów wspólnych z tym okręgiem. Zad 3 Na trapezie ABCD o podstawie AB opisano okrąg o równaniu x²+4x+y²−2y−29=0. Wyznacz współrzędne punktu D, jeżeli A=(−5, 6), B=(3, −2), C=(3, 4). Oblicz miarę kąta ostrego tego trapezu. Zad 4 Dla jakich wartości parametru a jedynym rozwiązaniem układu równań ax+y+1=0 2x+(a+1)y−1=0 jest para liczb spełniająca nierówność |x−y|≥1? Zad 5 Oblicz odległość między prostymi y=2x+6 i y=2x−4. Wyznacz równanie okręgu o środku leżącym na osi OY, stycznego do obu tych osi. Zad 6 Koło K₁: x²+y²+12x+2y+21≤0 przesuwamy o wektor v=[4, 4] i otrzymujemy koło K₂. Oblicz pole części wspólnej tych kół.

Szkolniak: Zadanie 4

	−y−1
1) ax=−y−1 ⇒ x=		, a≠0
	a

2) 2x+ay+y=1

	−2(y+1)
		+ay+y=1 /*a
	a

−2y−2+a²y+ay=a ya²+ya−2y=a+2

	a+2		1
y(a2+a−2)=a+2 ⇒ y=		⇒ y=		, a≠−2 ∧ a≠1
	(a+2)(a−1)		a−1

	−1
1) ax=		−1 /*(a−1)
	a−1

ax(a−1)=−1−a+1 a²x−ax=a

	a		1
x(a2−a)=a ⇒ x=		⇒ x=
	a(a−1)		a−1

	1		1
|x−y|≥1 ⇔ |		−		|≥1 ⇔ 0≥1, zdanie fałszywe, zatem nie istnieje taka wartość
	a−1		a−1

parametru a spełniająca warunki zadania

Saizou : Masz błąd znaku w linijce 3 w 1) powinno być a²x−ax=−a Wiec trzeba poprawić

Maciess: @Szkolniak Zadanie 4 mozna też dość sprawnie załatwić metodą wyznacznikową. @Saizou W zadadniu drugim wśliznął ci się chyba jakiś niechciany parametr t

Saizou : Faktycznie, literówka, bo t i y są obok siebie na klawiaturze Errata do zadania 2 Punkt A=(2, 1) należy do okręgu stycznego do osi OX w punkcie B=(−1, 0). Wyznacz równanie tego okręgu. Dla jakiej wartości parametru a prosta x−ay+4=0 nie ma punktów wspólnych z tym okręgiem.

Saizou : Podbijam

salamandra: Późnym wieczorem się do nich dobiorę

Saizou : Ja będę pewnie tak do 23, 24

janek191: Rys. do z.6

salamandra: Zad 1. Jak do tego podejść? Wiem, że środek okręgu to (0,0) oraz promień to 5 i że promień okręgu wpisanego w trójkąt

	a+b−c
prostokątny to
	2

Saizou : Podpowiedź Skoro AC jest równoległa do osi OC to C=(x, −5) AB ⊥ BC

Szkolniak: Zadanie 5 weźmy, że x=1: wtedy: f(x)=2x+6, f(1)=8 → A=(1,8) g(x)=2x−4, f(1)=−2 → B=(1,−2) odległość między dwoma prostymi równa jest długości odcinka AB: |AB|=√100=10 równanie okręgu: x²+(y−a)²=r², S=(0,a) okrąg ma być styczny do obu stycznych, zatem odległość odległość od środka do jednej prostej musi być równa odległości od środka do drugiej prostej: 1) P(0,a) i 2x−y+6=0

	|6−a|
d1=
	√5

2) P(0,a) i 2x−y−4=0

	|a+4|
d2=
	√5

d₁=d₂ ⇔ |6−a|=|a+4| ⇔ 6−a=a+4 ⇔ a=1 r²=d²=5 równanie okręgu: x²+(y−1)²=5

a@b: Zad5/ k:y=2x+6 p: y=2x−4 k∥p k: 2x−y+6=0 p: 2x−y−4=0

	|6+4|
to d=		⇒ d=2√5=2r ⇒ r=√5
	√22+12

r²=5 S−− środek odcinka AB ⇒S(1,0) o : x²+(y−1)²=5

salamandra: No ok, ale mając te współrzędne, C(x, −5), A(15, −5), mogę jedynie stwierdzić, że prosta AC ma równanie y=−5

a@b: AB ∥ DC a_AB=−1 to a_DC=−1 to prosta k=pr DC: y= −x+7 Rozwiązując układ równań prostej k i okręgu otrzymamy: D(1,6) zatem trapez jest równoramienny bo |AD|=|BC|=....=6 Prosta CE ⊥AB to a_CE=1 to: CE: y= 1(x−3)+4 ⇒ CD: y=x+1 prosta AB: y=−1(x−3)−2 ⇒ AB : y=−x+1 zatem CE∩AB= {E} ⇒ ... E(0,1) Obliczamy długości |EB |i |CE| ⇒ ...... |EB|=|CE|= 3√2 zatem ΔCEB jest prostokątny i równoramienny więc trapez ma kąty ostre po α=45^o to cosα=√2}/2 =============

Szkolniak: Czy w zadaniu 6 odpowiedź to 8π−16?

Szkolniak: P_kw=16

	1
Pwycinka=		*16π=4π
	4

P=16−4π P₁=P_kw−2P=16−32+8π=8π−16

a@b: tak

salamandra: Podpowie ktoś z tym zad 1? Kompletną pustkę mam

wmboczek: styczność w (0,−5) co jest w odl 15 od A przenosimy to na AB co daje 15+5=20 10=CB+20−AC Z Pitagorasa CB=15 AC=25 czyli C znamy dalej najłatwiej chyba wyznaczyć wysokość h z kąta prostego oraz odcinki, na jakie dzieli AC i tak dostaniemy B

salamandra: skąd wiadomo że AB = 20?

wmboczek: 15+bok kwadratu=5

salamandra: Nie widzę na rysunku kwadratu, ale domyślam się o co chodzi, i boki od A do punktu styczności na boku AB, i bok od A do puntu stycznosci na boku AC jako równe z twierdzenia o odcinkach stycznych?

wmboczek: tak, a kwadrat tworzą promienie i przyprostokątne

salamandra: I tak jest w KAŻDYM trójkącie prostokątnym opisanym na okręgu?

wmboczek: TAK, ładnie to widać jak zrobi się rysunek z kątem prostym po kratkach

salamandra: A= (15,−5) B(x,y) C=(x,−5) |CM|=|CN| − tw. o odcinkach stycznych N=(0,−5) |AN|= |AP| − tw. o odcinkach stycznych |AN|=15=|AP| |BP|=|BM| = r = 5 co dalej?

wmboczek: Dalej z podanej zależności 2r=a+b−c albo oznaczając CM=CN=x ułożysz tw Pitagorasa i obliczysz x znając wszystkie boki prowadzisz wysokość BD, która stworzy trójkąty podobne Wyznaczając BD i CD łatwo podać współrzędne B

salamandra: No ale na razie znam tylko "a" (AB) więc jak skorzystać ze wzoru 2r=a+b−c?

wmboczek: no np c=10+b i do Pitagorasa, 2 równania i 2 niewiadome

salamandra: Ale co wziąć do Pitagorasa? No mam 2r = a+b−c 10=20+b−c c=b+10 Niech |AB| = a I nie wiem dalej jak to zrobić tym promieniem. byłbym wdzieczny za podpowiedź, umiem tylko tym "x". |CM| = x = |CN| 20²+(5+x)² = (15+x)² x= 10 AC = 25 CB = 15 AB = 20 Skoro AC = 25 A= (15,−5) C=(x,−5) 25²= (x−15)²+(−5+5)² 625 = x²−30x+225 x²−30x−400=0 Δ=2500

	30−50
x1 =		= −10
	2

	30+50
x2 =		= 40 (nie zgadza się)?
	2

Czyli C= (−10, −5) A współrzędne B? Nie wiem jak zrobić to z wysokością o której mówi wmboczek 16:54.

wmboczek: a/c=x/a b/c=h/a mając odległości h i x oraz wsp C łatwo podać wsp B

salamandra: Mógłbyś nazwać boki tego trójkąta długościami z mojego rysunku, bo jakoś go "nie widzę"?

salamandra: a= |CB| x= |CN| b = |AB| c= |AC|?

salamandra: a/c = x/a 15/25 = 10/15 coś się nie zgadza

salamandra:

b		h
	=
c		a

20		h
	=
25		15

25h=300 h=12?

wmboczek: tak, h=12 a ten x to inny x niż CM

salamandra: aha, no wlasnie cos mi nie pasowało, że prowadzimy wysokość do punktu M i że tam o dziwo będzie kąt prosty

Szkolniak: Jakaś podpowiedź do 2 co można zrobić z tymi punktami? Chodzi o to żeby wyznaczyć środek okręgu w taki sposób, że wiem, że leży on na prostej x=−1, zatem punkt (−1,y) jest równo oddalony od punktu A i od punktu B?

wmboczek: TAK. Zamiast odległości można też znaleźć przecięcie symetralnej AB z x=−1

Szkolniak: A(2,1) i P(−1,y) ⇒ |AP|²=9+y²−2y+1 B(−1,0) i P(−1,y) ⇒ |BP|²=4+y² y²−2y+10=y²+4 ⇒ y=3 ⇒ P(−1,3) i r=3 x=ay−4 ∧ (x+1)²+(y−3)²=9 (ay−3)²+y²−6y=0 a²y²−6ay+9+y²−6y=0 (a²+1)y²−6(a+1)y+9=0 Δ<0 ⇔36a²+72a+36−36a²−36<0 ⇔a<0

wmboczek: BP²=y²

Szkolniak: Cholera.. ale metoda rozwiązania jest okej?

a@b: S(−1,b), r=|b| o : (x+1)²+(y−b)²=b² i A(2,1)∊o to................. b=5 zatem S(−1,5) i r=5 o: ( x+1)²+(y−5)²=25 prosta k: x−ay+4=0 nie ma punktów wspólnych z okręgiem to odległość d punktu S od prostej k jest d>r d=|5a−3|>5√a²+1 ⇒ ................... ................. Odp: a< −8/15

a@b: np : dla a= −1 k: y= −x−4 dla a= −2 k y=−0,5x−2 dla a= −8/15 y =−(15/8)x−7,5

Szkolniak: W ogóle trochę liznąłem tematu całek oznaczonych i liczenia pola poprzez nie i pytanie czy zadanie z kołami dałoby radę tak zrobić? Bo w policzonych przeze mnie kiedyś przykładach pole ograniczane było funkcją jednej zmiennej, czy tutaj jest ograniczane z góry dwoma zmiennymi?

wmboczek: da się tylko trzeba pamiętać o kilku drobiazgach 1) dobra funkcja (fragment okręgu będący funkcją) 2) przesunięcie tak by obszar był nad osią OX 3) obszar będzie różnicą 2 pół pod funkcjami

Szkolniak: 1) Pole po przesunięciu będzie równe polu wcześniejszemu? 2) Całka oznaczona o przedziale od −6 do −2, w takim razie jak teraz znaleźć funkcję ograniczająca z góry?

salamandra: W 1−szym x również 12? (ten z podobieństwa)

wmboczek: @salamandra x=9 z proporcji @Szkolniak całka wyraża Pp pod krzywą do osi OX. Jeśli obszar jest częściowo pod OX, to jego pole wychodzi ujemne w tej części Musiałbyś przekształcić równania tak, by wykresy się podniosły (przesunięcie w pionie) Pp=∫niebieski fragment − ∫czerwony Pozostaje jeszcze problem wyliczenia samej całki, w tym zadaniu akurat te rachunki są żmudne

Szkolniak: Tak, podniosłem oba okręgi o jedną jednostkę w górę i cały obszar znalazł mi się nad osią OX. Natomiast nadal ciekawi mnie czy możliwym jest zrobienie tak, aby wyznaczyć wzór funkcji jednej zmiennej z części koła niebieskiego na przedziale <−6;−2>.

salamandra: a= |CB| = 15 b= |AB| = 20 c= |AC|= 25

a		x
	=
c		a

15		x
	=
25		15

25x= 225 x=9

b		h
	=
c		a

20		h
	=
25		15

25h = 300 h=12 I co dalej, jak dojść do wierzchołka B?

wmboczek: @salamandra masz teraz wektor przesunięcia z C do B @Szkolniak (x−a)²+(y−b)²=r² y1=√r²−(x−a)²+b y1=−√r²−(x−a)²+b

salamandra: Wektory miałem w pierwszej klasie i to może z trzy lekcje, więc ciężko

wmboczek: po prostu 9 w prawo i 12 w górę od C

salamandra: Czyli B(−1,7)? C(−10,−5)

Saizou : @[NSzkolniak]] da radę, ale będzie trudniej jeśli będziesz liczyć w współrzędnych kartezjańskich, o wiele łatwiej będzie w współrzędnych biegunowych obliczyć to pole.

Szkolniak: A to nie nie, odpadam, jeszcze nie mam takiej wiedzy na ten temat