Parametr, podzielność wielomianu Szkolniak: Dla jakiej wartości m wielomian x³+y³+z³+mxyz jest podzielny przez x+y+z? Mogę prosić o wskazówkę?

ABC: Szkolniak to zadanie z normalnego liceum? Miałeś wielomiany symetryczne?

Szkolniak: Niestety nie miałem, czyli nie da rady rozwiązać tego szkolną metodą?

ite: Czym się różni nienormalne liceum od normalnego (lokalizacja, program nauczania, personel)?!

jc: f(t)=(t−x)(t−y)(t−z)=t³−(x+y+z)t²+(xy+yz+zx)t−xyz f(x)=f(y)=f(z)=0 0=f(x)+f(y)+f(z) =x³+y³+z³ − (x+y+z)(x²+y²+z²) + (xy+yz+zx)(x+y+z) − 3xyz x+y+z | x³+y³+z³ −3xyz ...

ABC: Staszic w Warszawie jest nienormalny i ma te trzy rzeczy które wymieniłaś Szkolniak da się szkolną ale będą długie i żmudne przekształcenia chyba że jest inny sposób niż ja znam

Szkolniak: Chyba niezbyt rozumiem rozwiązania jc.. A gdybym zrobił tak, że niech będzie, że W(x)=x³+y³+z³+mxyz, wtedy wielomian ten podzielny jest przez x+y+z wtedy, gdy W(x+y+z)=0, zatem: (x+y+z)³+y³+z³+m(x+y+z)yz=0 I coś dalej z tym? Jakieś grupowanie?

ABC: no o czymś takim mówię, skoro szkolnymi metodami to musisz y,z traktować jako parametry bo masz tylko wielomiany jednej zmiennej i to się da na piechotę, kiedyś przeliczyłem ale zgubiłem ten zeszyt bo bym ci napisał

Szkolniak: Trudno, odpuśćmy sobie rozwiązanie w takim razie albo pomyślę jeszcze nad tym

a@b: dalej.... W(x+y+z)=0 x+y+z=0 ⇒ z= −(x+y) x³+y³−(x+y)³−mxy(x+y)=0 (x+y)³−3xy(x+y)−(x+y)³−mxy(x+y)=0 ......................... m= −3 ========

Szkolniak: Skąd się wzięło równanie x+y+z=0?

Mila: 1) (x+y)³=x³+3x²y+3xy²+y³ 2) W(x)=x³+y³+z³+mxyz= =x³+3x²y+3xy²+y³+z³−3x²y−3xy²+mxyz= =[(x+y)³+z³]−xy*(3x+3y+mz)= =(x+y+z)*[(x+y)²−(x+y)*z+z²]+xy*(−3x−3y+mz)= dla m=−3 mamy: =(x+y+z)*[x²+2xy+y²−xz−yz+z²]−3xy*(x+y+z)= (x+y+z)*[x²+2xy+y²−xz−yz+z²−3xy]= =(x+y+z)*[x²+y²+z²−xy−xz−yz]

jc: Szkolniak, podałem prosty rachunek pokazujący, że x³+y³+z³ − (x+y+z)(x²+y²+z²) + (xy+yz+zx)(x+y+z) − 3xyz=0 Z równania wynika, że x+y+z powinno dzielić (3+m)xyz, ale co to znaczy? (3+m)xyz=(x+y+z)h(x,y,z) Gdyby tak było, to biorąc x=2, y=−1, z=−1 powinniśmy dostać 3+m=0, co oznacz, że m=−3.

Szkolniak: Przeanalizowane i zrozumiane, dziękuje