Równanie różniczkowe 2 stopnia Meumann: y'' − 4y' = 8x Całka ogólna wychodzi C1 + C2e^4x, ale nie wiem co zrobić dalej. yp = Ax + B, ogólna postać równania 1 stopnia. yp' = A, a yp'' = 0. Idąc tym rozumowaniem nie mogę uzyskać sensownego wyniku.

Mariusz: Chcesz przewidywać ? Wygodniejsza byłaby metoda uzmienniania stałych bądź metoda operatorowa a jeszcze lepiej zadziała obniżanie rzędu ale jeśli chcesz koniecznie przewidywać to zastanów się ilukrotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego jest zero Gdyby zero nie było pierwiastkiem równania charakterystycznego przewidywałbyś wielomian pierwszego stopnia jako całkę szczególną a tak przewidywanie musisz przemnożyć przez x^k zakładając że zero jest k krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego

Mariusz: y'' − 4y' = 8x u=y' u' − 4u = 8x u' − 4u = 0 u' = 4u

du
	=4dx
u

ln|u|=4x+C₁ u=C₂e^4x u(x)=C₂(x)e^4x C₂'(x)e^4x−4C₂(x)e^4x+4C₂(x)e^4x=8x C₂'(x)e^4x=8x C₂'(x)=8xe^−4x C₂(x)=−2xe^−4x+2∫e^−4xdx

	1
C2(x)=−2xe−4x−		e−4x+C3
	2

	1
C2(x)=−		(4x+1)e−4x+C3
	2

	1
u(x)=(−		(4x+1)e−4x+C3)e4x
	2

	1
u(x)=−		(4x+1)+C3e4x
	2

	1
y'(x)=−		(4x+1)+C3e4x
	2

	1		1
y(x)=−		(4x+1)2+		C3e4x+C4
	16		4

	1
y(x)=C1+C2e4x−		(4x+1)2
	16