Całka nieoznaczona przez podstawianie kacpi666xd: Hej, nie mogę rozwiązać tej całki " ∫x⁴*√4x²+11dx. Muszę to zrobić przez podstawienie, czy mógłby ktoś pomóc? Za "t" podstawiałem już x⁴, √4x²+11dx, x² i 4x²+11. Nie bardzo to daje efekty, nie wiem. Może źle coś robię.

Mariusz: Jeśli chodzi o podstawienie to chyba najlepiej sprawdzi się podstawienie √4x²+11=t−2x bo po skorzystaniu z liniowości dostaniesz całkę z potęgi ale dla porównania możesz potraktować ją jako całkę z różniczki dwumiennej ∫x⁴(11+4x²)^1/2dx

	11+4x2
t2=
	x2

	11
t2=4+
	x2

Mariusz:

	11
t2=4+
	x2

	22
2tdt=−		dx
	x3

	11
tdt=−		dx
	x3

	11
t2−4=
	x2

	1
tdt=(4−t2)		dx
	x

t		1
	dt=		dx
4−t2		x

	√4x2+11
t=
	x

	11
t2−4=
	x2

11
	=x2
t2−4

	√4x2+11	dx
∫x4√4x2+11dx=∫x6
	x	x

	1331		−t
∫x4√4x2+11dx=∫		t		dt
	(t2−4)3		(t2−4)

	t2
∫x4√4x2+11dx=−1331∫		dt
	(t2−4)4

Wypróbujmy teraz pierwsze podstawienie √4x²+11=t−2x 4x²+11=t²−4xt+4x² 11=t²−4xt 4xt=t²−11

	t2−11
x=
	4t

	2t*4t−4(t2−11)
dx=		dt
	16t2

	t2+11
dx=		dt
	4t2

	4t2−2(t2−11)
t−2x=
	4t

	t2+11
t−2x=
	2t

	(t2−11)4	t2+11	t2+11
∫				dt
	256t4	2t	4t2

1		(t2−11)2(t2+11)2(t2−11)2
	∫		dt
2048		t7

1		(t4−121)2(t2−11)2
	∫		dt
2048		t7

Odwracamy sposób pierwiastkowania pisemnego który działa też dla wielomianów (t⁶−11t⁴−121t²+1331)² t¹²+(2t⁶−11t⁴)*(−11t⁴) t¹²−22t¹⁰+121t⁸+(2t⁶−22t⁴−121t²)(−121t²) t¹²−22t¹⁰+121t⁸ −242t⁸+2662t⁶+14641t⁴ t¹²−22t¹⁰−121t⁸+2662t⁶+14641t⁴+(2t⁶−22t⁴−242t²+1331)(1331) t¹²−22t¹⁰−121t⁸+2662t⁶+14641t⁴+2662t⁶−29282t⁴−322102t²+ 1771561 t¹²−22t¹⁰−121t⁸+5324t⁶−14641t⁴−322102t²+ 1771561

	1		t12−22t10−121t8+5324t6−14641t4−322102t2+ 1771561
=		∫		dt
	2048		t7

jc: y=x*√11/4 i mamy całkę ∫y⁴√1+y²dy. Dalej wszystko jedno jaki sposób, na pewno będzie łatwiej. Sam podstawiłbym y=sh t ale równie dobrze można tak, jak Mariusz y=(t−1/t)/2. Drugie podstawienie da nam ∫(t−1/t)⁴(t+1/t)(1+1/t²)dt (pominąłem czynnik). Można dalej podstawiać s=t². Niestety na koniec trzeba wrócić do x.

kacpi666xd: Dziękuję pięknie!

Mariusz: Zależy czy chce mieć funkcję wymierną czy hyperbolicusy Jeżeli chce mieć funkcje wymierną to albo stosuje podstawienie Eulera albo podstawienie Czebyszowa związane z różniczką dwumienną (podobno podstawienie było znane już wcześniej ale Czebyszow pokazał że całka z różniczki dwumiennej może być wyrażona za pomocą skończonej liczby funkcyj elementarnych tylko w trzech przypadkach)

Mariusz: Gdybyś chciał kontynuować rozwiązywanie podstawieniem związanym z różniczką dwumienną to macierz odwrotna do macierzy głównej układu powstałego podczas rozkładu na sumę ułamków prostych wygląda następująco 0.500000000000 0.078125000000 0.000000000000 −0.003906250000 −0.000000000000 0.000976562500 −0.000000000000 −0.001220703125 1.187500000000 0.343750000000 0.078125000000 0.007812500000 −0.003906250000 −0.001953125000 0.000976562500 0.002441406250 1.250000000000 0.500000000000 0.187500000000 0.062500000000 0.015625000000 0.000000000000 −0.003906250000 −0.003906250000 0.500000000000 0.250000000000 0.125000000000 0.062500000000 0.031250000000 0.015625000000 0.007812500000 0.003906250000 0.500000000000 −0.078125000000 0.000000000000 0.003906250000 0.000000000000 −0.000976562500 0.000000000000 0.001220703125 −1.187500000000 0.343750000000 −0.078125000000 0.007812500000 0.003906250000 −0.001953125000 −0.000976562500 0.002441406250 1.250000000000 −0.500000000000 0.187500000000 −0.062500000000 0.015625000000 −0.000000000000 −0.003906250000 0.003906250000 −0.500000000000 0.250000000000 −0.125000000000 0.062500000000 −0.031250000000 0.015625000000 −0.007812500000 0.003906250000 Macierz jest wymiaru 8x8 wyznacznik prawdopodobnie wynosi ±4096