wartość, wektory własne, macierz diagonalna student: Wyznacz wartości i wektory własne przekształcenia L oraz podaj postać diagonalną macierzy przekształcenia L / o ile istnieje /. a) L(x, y, z) = (x + 2z, 3z, x + 2z) b) L: C² → C², L(x, y) = ((1 − 2i)x + 5y, (1 + i)x − (1 − 3i)y)

student: Podbijam

student: czy mógłbym prosić o skazówki do 1 z podpunktów/− chodzi mi o schemat działania

jc: Szukasz k dla którego równanie L(x,y,z) = k*(x,y,z) ma niezerowe rozwiązanie. Takie k nazywa się wartością własną, a niezerowy wektor (x,y,z) to wektor własny. Faktycznie to jednorodny układ 3 równań liniowy z 3 niewiadomymi. Niezerowe rozwiązanie masz tylko w przypadku, kiedy wyznacznik = 0. Układ równań: x+2z=kx 3z=ky x+2z=kz No to nawet bez wyznacznika widać jeden wektor: x=y=z=1, k=3. Drugi wektor: x=z=0, y=1, k=0. A trzeci? Szukaj sam.

student: Do tego co powyżej doszedłem, ale jak wyznaczyć współrzędne trzeciego wektora? No i jak później macierz diagonalną przekształcenia − jaki jest warunek, żeby ta macierz istniała?

student: Trzeci to taki jak dla k =1?

jc: Schemat ogólny: wyznacznik 1−k 0 2 0 1−k 3 1 0 2−k = 0 czyli (1−k)²(2−k)−2(1−k)=0 k(1−k)(k−3)=0 k=0 lub k=1 kub k=0 Dla k=1 mamy z=y=0, x=1.

student: To wiem −> pytanie jak dojść do macierzy diagonalnej przekształcenia i czy dla tej macierzy ona istnieje?

student: Tutaj nie ma 3 wartości własnych, a więc macierz diagonalna nie istnieje?− proszę o potwierdzenie

student: 3 różnych wartości własnych*

student: pls

jc: Pomyliłem się. Wyznacznik = 3k²−2k² Właściwie wiemy już, że nie można, bo mamy tylko 2 wektory własne (rozwiązania były jednowymiarowe), a przestrzeń ma wymiar 3.