funkcje tworzące mat123: Wyznacz ciąg, dla którego funkcją tworzącą jest:

	12x2 + 2x
f(x) =
	(1 − 3x)3

Nie wiem jak sobie poradzić z tym, że w mianowniku mam 3 potęgę. Dla kwadratu zawsze liczę pochodną, natomiast tutaj nic nie chce mi wyjść. Czy ktoś wie jak trzeba to rozwiązać? Z góry dziękuję.

jc: Masz ogólny wzór (pudełka, kulki, przegródki):

	n+k−1 k−1
(1+x+x2+x3+..)k=∑n		xn

Mariusz: Możesz najpierw rozłożyć na sumę

12x2+2x		A		B		C
	=		+		+
(1−3x)3		1−3x		(1−3x)2		(1−3x)3

12x²+2x=A(1−3x)²+B(1−3x)+C 12x²+2x=A(1−6x+9x²)+B(1−3x)+C 9A=12 −6A−3B=2 A+B+C=0

	4
A=
	3

	10
B=−
	3

C=2

4	1		10	1		1
		−			+2
3	1−3x		3	(1−3x)2		(1−3x)3

Możesz liczyć kolejne pochodne Wzór podany przez jc możesz otrzymać z kilkukrotnego różniczkowania szeregu geometrycznego

1
	=∑n=0∞qnxn
1−qx

d		1		d
	(		)=		(∑n=0∞qnxn)
dx		1−qx		dx

	1
−		(−q)=∑n=0∞nqnxn−1
	(1−qx)2

q
	=∑n=1∞nqnxn−1
(1−qx)2

q
	=∑n=0∞(n+1)qn+1xn
(1−qx)2

1
	=∑n=0∞(n+1)qnxn
(1−qx)2

d		1		d
	(		)=		(∑n=0∞(n+1)qnxn)
dx		(1−qx)2		dx

	2
−		(−q)=∑n=0∞(n+1)nqnxn−1
	(1−qx)3

2q
	=∑n=1∞(n+1)nqnxn−1
(1−qx)3

2q
	=∑n=0∞(n+2)(n+1)qn+1xn
(1−qx)3

2
	=∑n=0∞(n+2)(n+1)qnxn
(1−qx)3

d		2		d
	(		)=		(∑n=0∞(n+2)(n+1)qnxn)
dx		(1−qx)3		dx

	2*3
−		(−q)=∑n=0∞(n+2)(n+1)nqnxn−1
	(1−qx)4

2*3*q
	=∑n=1∞(n+2)(n+1)nqnxn−1
(1−qx)4

2*3*q
	=∑n=0∞(n+3)(n+2)(n+1)qn+1xn
(1−qx)4

2*3
	=∑n=0∞(n+3)(n+2)(n+1)qnxn
(1−qx)4

d		2*3		d
	(		)=		(∑n=0∞(n+3)(n+2)(n+1)qnxn)
dx		(1−qx)4		dx

	2*3*4
−		(−q)=∑n=0∞(n+3)(n+2)(n+1)nqnxn−1
	(1−qx)5

2*3*4*q
	=∑n=1∞(n+3)(n+2)(n+1)nqnxn−1
(1−qx)5

2*3*4*q
	=∑n=0∞(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)qn+1xn
(1−qx)5

2*3*4
	=∑n=0∞(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)qnxn
(1−qx)5

m!
	=∑n=0∞∏k=1m(n+k)qnxn
(1−qx)m+1

Sprawdź ten wzorek indukcyjnie

mat123: Dziękuję bardzo za pomoc

jc: Suma od n=0.

12x2+2x		n+2 2		2		n 2		n+1 2
	= (12x2+2x)∑		3nxn=		∑[2		+		]3nxn
(1−3x)3				3

Mariusz:

	4	1		10	1		1
=			−			+2
	3	1−3x		3	(1−3x)2		(1−3x)3

	4		10
=		(∑n=0∞3nxn)−		(∑n=0∞(n+1)3nxn)+
	3		3

(∑_n=0^∞(n+2)(n+1)3ⁿxⁿ)

	1
=∑n=0∞(		(4−10(n+1)+3(n+2)(n+1))3n)xn
	3

=∑_n=0^∞((3n²+9n+6+4−10n−10)3ⁿ⁻¹)xⁿ =∑_n=0^∞((3n²−n)3ⁿ⁻¹)xⁿ =∑_n=1^∞((3n²−n)3ⁿ⁻¹)xⁿ =∑_n=0^∞((3n²+5n+2)3ⁿ)xⁿ⁺¹

Mariusz: " Nie wiem jak sobie poradzić z tym, że w mianowniku mam 3 potęgę. Dla kwadratu zawsze liczę pochodną, natomiast tutaj nic nie chce mi wyjść " Właśnie n krotne różniczkowanie jest jednym ze sposobów rozwinięcia funkcji w szereg tylko że nieco lepiej sprawdza się on dla wykładniczej funkcji tworzącej a jaką tu mamy ?