Nowe zadanka Saizou : Tym razem na warsztat weźmiemy .... geometrię Zad 1 Boki trójkąa mają długości 8, 12 i 16. Oblicz długość środkowej poprowadzonej do najdłuższego boku. Zad 2 Długości boków trójkąta są kolejnymi liczbami naturalnymi. Kąty wewnętrzne tego trójkąta mają tę własność, że miara kąta największego jest dwukrotnością miary kąta najmnieszego. Oblicz długości boków tego trójkąta. Zad 3 Bok pięciokąta formenego ma długość a. Wykaż, że każda przekątna tego pięciokąta

	a(1+√5
ma długość równą
	2

Zad 4 Kąt ostry równoległoboku ma miarę 60°, a jego dłuższa przekątna ma długość równą 3√7. Wiedząc, że rówżnica długości jego boków jest równa 3, oblicz pole tego równoległoboku i długość jego krótszej przekątnej. Zad 5 Pole trójkąa ABC jest równe 40√3, kąt CAB ma miarę 60°, a suma długości boków AB i AC jest równa 26. Oblicz odległość d środka O okręgu opisanego na tym trójkącie od boku BC.

salamandra: Zad 2 miałem wczoraj na lekcji

Saizou : Zadania pochodzą ze zbioru wydawnictwa Podkowa

salamandra: Dokładnie z tego wydawnictwa książkę realizuję . Ok, trzeba coś zrobić Zad 1. tw. cosinusów: 8²= 12²+16²−2*12*16*cosα 64=144+256−384*cosα −336=−384*cosα

−336
	= cosα
−384

α≈29 stopni |CM|² = 8²+12²−2*8*12*cos29 |CM|² = 64+144−192*cos29 |CM|² = 208−192*0,875 |CM|² = 208−168 = 40 |CM| = √40 Dobrze?

Saizou : Nie możesz przybliżać wartości kąta α. Ale metoda dobra.

salamandra: Nie jestem w stanie wyznaczyć dokładnie ile on wynosi, bo cosα = 0,875

salamandra: W zasadzie ten kąt mi jest do niczego niepotrzebny, bo jak widzisz, pod "cos29" wstawiłem jednak tę dokładną wartość.

Saizou :

	336
Czyli musisz zostawić, że cosα=		i tego używać później.
	384

salamandra: Wynik dobry?

Saizou :

	−366		7
Wynik jest okej, bo cosα=		=		=0,875
	384		8

Saizou : Przybliżeń używamy tylko wtedy, gdy chcą to w zadaniu, poza tym liczymy z dokładnymi wartościami

salamandra: Zad 2.

a+2		a
	=
sin(2α)		sinα

a+2		a
	=		/ *sinα
2sinαcosα		sinα

a+2
	= a / *2cosα
2cosα

a+2=2cosα*a/ :a

a+2
	= 2cosα / :2
2

a+2
	=cosα
2a

a²=(a+2)²+(a+1)²−2(a+1)(a+2)*cosα a²=a²+4a+4+a²+2a+1−2(a²+2a+a+2)*cosα a²=2a²+6a+5−2(a²+3a+2)*cosα a²=2a²+6a+5−(2a²+6a+4)*cosα

	a+2
a2=2a2+6a+5−(2a2+6a+4)*
	2a

	2a3+4a2		6a2+12a		4a+8
a2=2a2+6a+5−(		+		+		)
	2a		2a		2a

	8
a2=2a2+6a+5−(a2+2a+3a+6+2+		)
	2a

	8
a2=a2+6a+5−(5a+8+		)
	2a

	8
0=6a+5−5a−8−
	2a

	8
0=a−3−
	2a

	2a2		6a		8
0=		−		−
	2a		2a		2a

	2a2−6a−8
0=		⇔ 2a2−6a−8 = 0
	2a

2a²−6a−8=0 Δ=36+64= 100

	6−10
a1=		< 0 − odpada
	4

	6+10
a2 =		= 4
	4

Odp. Boki tego trójkąta to 4,5,6

a@b: zad1/ długość środkowej s wyraża się wzorem:

	1
s=		√2a2+2b2−c2 , gdzie c −− najdłuższy bok
	2

s=2√10 ======= ten wzór możesz sobie wyprowadzić z tw.cosinusów w tym trójkącie

Saizou : Przy równaniu kwadratowym mogłeś podzielić przez 2, byłby mniejsze liczby

a@b: zad 2/ Takie wprowadzenie oznaczeń boków znacznie ułatwia obliczenia oraz z tw. cosinusów: ( po przekształceniu wzorów :

	b2+c2−a2
cosα=
	2bc

	a2+c2−b2
cosβ=
	2ac

	a2+b2−c2
cosγ=
	2ab

i mamy

	n−1		n+1
z tw. sinusów		=		, cos2α=2sinαcosα, sinα≠0
	sinα		cos2α

	n+1
to cosα=
	2(n−1)

	n2+(n+1)2−(n−1)2		n+4
i cosα=		⇒ cosα=
	2n(n+1)		2(n+1)

	n+1		n+4
zatem:		=		⇒ ..... n=5
	2(n−1)		2(n+1)

To boki mają długość 4,5,6 ========

Szkolniak: a+b=26 ⇒ a=26−b P=40√3

	a*b*sin60o
P=
	2

	√3
zatem: 80√3=ab*		⇒ ab=160
	2

b(26−b)=160 −b²+26b−160=0 b²−26b+160=0 (b−10)(b−16)=0 b=10 v b=16 b∊{10,16} 1^o b=10 ⇒ a=16 v2^o b=16 ⇒ a=10 z twierdzenia cosinusów dla c:

	1
c2=a2+b2−2*10*16*
	2

c²=100+256−160 c²=196 ⇒ c=14 z twierdzenia sinusów:

	c		14√3
2R=		⇒ R=
	sin60o		3

okrąg zbudowany na symetralnych boków, więc:

	c
(		)2+g2=R2, gdzie g to szukana odległość
	2

	196
g2=		−49
	3

	49		7√3
g2=		⇒ g=
	3		3

Saizou : Ładnie, chociaż brakuje komentarza dlaczego rozważamy tylko jedną wersję boków a i b. Nieścisłe jest sformułowanie "okrąg zbudowany na symetralnych boków"

Saizou : Zachęcam do dalszego rozwiązywania Jutro pojawią się zadanka z kombinatoryki i prawdopodobieństwa

salamandra: Podejmę się jutro, no a kombinatoryki i prawdopodobieństwa nie tknę, bo jeszcze tego nie miałem

Saizou : To może geometria analityczna?

salamandra: Może być, trzeba szlifować to z czego się jest słabszym

a@b:

Saizou : Najpierw trzeba skończyć zadania z tego postu. Eta może coś wrzucisz dla naszych rodzynków?

Saizou : Zostały zadanie 3 i 4

Saizou : Podbijam dla chętnych maturzystów

a@b: Hej Saizou Maturzyści balują na studniówce

Saizou : Tydzień temu też balowali

a@b: Ja też za tydzień

Saizou : W sumie to, która matura z rzędu? ^^

a@b: "grono" .... baluje co rok ( nawet na trzech i czterech .....

Saizou : Udanej zabawy

a@b: dzięki

a@b: zad5 dla maturzystów W ΔABC w którym |∡BAC|=135^o i |AC|=b poprowadzono środkową AD, która jest prostopadła do boku AC Wykaż,że |AB|=b√2

Patryk: Czy to zadanie jest dobrze skonstruowane? Bo wychodzi mi z rysunku trójkąt ABD który ma kąty 135 i 90 ... chyba że ja źle narysowałem

a@b:

jc: Dodam swoje zadanie. Trójkąt równoboczny ABC jest wpisany w okrąg. Na (krótszym) łuku okręgu AB leży punkt P. Pokazać, że AP + BP = CP.

Saizou : Eta 2 razy tw. sinusów i jak to mówisz "po potokach"

a@b: Hej Saizou Jeżeli mówisz o zad 5/ to jeszcze prościej ( jednym równaniem

Saizou : To będę myśleć jc 3 razy tw. sinusów + info że promień okręgu opisanego na trójkątach jest jednakowy.

a@b: W zad jc Tw. Ptolemeusza ... i po ptokach

Saizou : W sumie jest coś takiego

a@b: 2 sposób ( zad jc) ....... 2 razy tw. cosinusów

jc: Faktycznie, Ptolemeusz daje od razu wynik. Ja zobaczyłem rzecz na rysunku. T stawiamy tak, aby PT=PB. Wtedy TC=AP (trójkąt BAP powstaje z trójkąta BCT przez obrót względem B o 60 stopni).

a@b: 1/ 2 razy z tw. cosinusów |AP|²+|PC|²−|AP|*|PC|=a² |BP|²+|PC|²−|BP|*|PC|=a² ......................... i mamy tezę

Szkolniak: 4) Czy w równoległoboku przekątne zawsze dzielą kąt na pół?

a@b: I jak myślisz?

a@b: tylko w rombie i kwadracie

salamandra: Zad 4. Przekątna 3√7 będzie przecinała kąt 60 stopni czy 120?

salamandra: Boki 3 i 6, a przekątna druga 3√3 czy źle?

a@b: Dobrze

salamandra: Piszę z telefonu. dlatego nie chciałem pisać rozwiązania niemając pewności, że jest dobrze. W takim razie: Boki: a, a+3 Tw. Cosinusów: (3√7)²= a²+(a+3)²−2a(a+3)*cos120

	1
63= a2+a2+6a+9−(2a2+6a)+(−		)
	2

3a²+9a−54=0 a²+3a−18=0 Δ=81 a1<0 a2=3 Boki: 3,6 Znów tw cosinusów: f − krótsza przekątna f²= 36+9−2*3*6*cos60 f=√27=3√3

	1		√3		18√3
P=2*(		*3*6*sin120)=2*(9*		)=		=9√3
	2		2		2

a@b: Przez f −− zwykle oznaczamy dłuższą ( bo litera f dłuższa od e

Szkolniak: Skubany Ale widzę że większość zadań idzie z tych twierdzeń cosinusów/sinusów

salamandra: Ok , poza tym dobrze?

salamandra: Tez to zauważyłem. Dopóki tych twierdzeń nie znałem, większość takich zadań to czarna magia, a dzięki im, nagle się horyzonty rozszerzają

salamandra: nim*

Szkolniak: To prawda, przedtem też ich nie znałem, a teraz robiąc zadania to wystarczy gdziekolwiek jednego z twierdzeń użyć i nagle po zadaniu

Saizou : Zadania były tak dobrane aby używać tw, cosinusów i sinusów Pozostało zadanie z pięciokątem. Jak je rozwiążecie wrzucę analityczną

Szkolniak: W jaki sposób teraz dojść jakie kąty są przy poszczególnych wierzchołkach? Czy nie jest mi to tutaj potrzebne?

Saizou : Jeśli chcesz tak liczyć, to

	360
α=
	5

	180−α
β=
	2

... β=36 ⇒2β=72 Pojawi się problem cos72 Inna prostsza metoda to podobieństwo trójkątów

Mila: Podpowiedź. 1) suma kątów : 3*180^o=540^o

540o
	=108o
5

kąty wewnętrzne 5−kąta mają po 108 ^o. 2) Masz tam trójkąty równoramienne, łatwo obliczysz kąty. Znajdź trójkąty podobne , będziesz miał złotą proporcję i to będzie koniec !

Szkolniak: Na tym moim rysunku widoczne są te trójkąty podobne? Bo coś nie mogę tego zauważyć

Mila: 1) ΔACB≡ΔBDC≡ΔECD≡ΔDAE≡ΔEBA cecha bkb p− długość każdej przekątnej 2) ΔGDE∼ΔEDB⇔ |GB|=a

a		a		a		p
	=		⇔		=
x		p		p−a		a

p*(p−a)=a² p²−ap−a²=0, a>0, p>0 Δ=a²+4a²=5a²

	a−a√5		a+a√5
p=		<0 lub p=
	2		2

	a*(1+√5)
p=
	2

=============

Saizou : 1° uzasadnij, że |CF|=|EF|=a (pokaż, że czworokąt EFCD jest rombem) 2° uzasadnij, że ΔCDE ~ Δ BFA 3° wykaż to, o co proszą w zadaniu

Szkolniak: Fajne zadanie, nie wpadłbym na to

Mila: Zauważyłeś trójkąty podobne?

wmboczek: Jest jeszcze opcja z równaniem trygonometrycznym p/a=2cos36=a/x i rozpisanie tw cosinusów dla EFD ze wzorem na cos3α