z czy: calka √x²−6x} nie mam pojecia co z tym zrobic

ABC: wykorzystać że x²−6x=x²−6x+9−9=(x−3)²−9

Mariusz: Całka postaci ∫R(x,√ax²+bx+c)dx W przypadku gdy a > 0 stosujesz podstawienie √ax²+bx+c=t−√ax W przypadku gdy a < 0 możesz założyć że b²−4ac > 0, rozkładasz trójmian kwadratowy pod pierwiastkiem na czynniki i podstawiasz √a(x−x₁)(x−x₂)=(x−x₁)t U ciebie a=1 więc stosujesz podstawienie √x²+6x=t−x

xyz: x² − 6x = (x−3)² − 9 zatem podstawienie t = x−3 dt = dx wtedy mamy: ∫ √x²−6x dx = ∫ √t²−9 dt I w sumie tutaj utknalem, bo mozna by funkcje trygonometryczne (podstawienie uniwersalne) ale to nie pomaga... bo t = 3sin(u) albo t=3cos(u) dadza wyrazenie √−sin²x lub √−cos²x a to nam nie pomoze... natomiast t = 3tg(u) to tez nie widze nic ciekawego Byc moze podstawienie eulera 1wszego rodzaju od samego poczatku... Dla postaci √ax² + bx + c = x√a − t <−−takie podstawienie jesli a > 0 Albo w sumie zastosujmy podstawienie eulera 3ciego rodzaju ktore jest idealne gdy mamy 2 rozne pierwiastki wiec ax²+bx+c mozna zapisac jako a(x−x₁)(x−x₂) u nas tak jest bo x²−6x = x(x−6) czyli 1(x−0)(x−6) te podstawinie brzmi: √ax² + bx + c = t(x−x₁) no to jedziemy √x²−6x = t(x−0) //obustronnie do kwadratu(tak sie zawsze robi przy eulerze) x²−6x = t²x² <−−− zapiszmy lewa jako postac iloczynowa x(x−6) = t²x² /:x x−6 = t²*x <−−wyznaczamy iksa t²*x − x = − 6 x(t²−1) = − 6

	−6
czyli x =
	t2−1

Na poczatku napisalismy, ze √x²−6x = t(x−0) czyli √x²−6x = tx podstawiajac iksa (ktorego wyznaczylismy kilka linii wyzej) mamy

	−6
√x2−6x = t *
	t2−1

	−6t
√x2−6x =
	t2−1

do calki potrzebujemy jeszcze dx

	−6
wiec trzeba policzyc pochodna z
	t2−1

No to jedziemy:

	−6		−2t*(−6)		12t
dx = (		)' dt =		dt =		dt
	t2−1		(t2−1)2		(t2−1)2

No i teraz juz mamy wszystko − tylko podstawic do calki wejsciowej ∫ √x²−6x dx czyli

	−6t		12t		t		t
∫		*		dt = −72 ∫		*		dt =
	t2−1		(t2−1)2		t2−1		(t2−1)2

	t2
= −72 ∫		dt
	(t2−1)3

To juz zwykla calka wymierna, dasz rade obliczyc samemu Rozklad na ulamki proste niestety nie bedzie banalny... Ale sie napisalem hehehszki

ABC: ja bym to rozwiązywał przy założeniu że ∫√x²+k dx bierzemy z tablic całek

	dx
ewentualnie ∫		bierzemy z tablic i jakieś całki stowarzyszone, całkowanie przez
	√x2+k

części i te rzeczy

b.: na całkę z \√t²−9 pomaga podstawienie t = 3ch y (cosinus hiperboliczny), zachodzi bowiem ,,hiperboliczna jedynka'': (ch y)² − (sh y)² = 1 Mamy t² − 9 = (3 sh y)² oraz dt = 3sh y dy.

b.: A można też podstawieniami Eulera...

Mariusz: Specjalnie wybrałeś akurat to podstawienie Po zastosowaniu pierwszego podstawienia Eulera otrzymałby ∫√x²−6xdx √x²−6x=t−x x²−6x=t²−2tx+x² −6x=t²−2tx 2tx−6x=t² x(2t−6)=t²

	t2
x=
	2t−6

	2t(2t−6)−2t2
dx=		dt
	(2t−6)2

	t2−6t
dx=2		dt
	(2t−6)2

√x²−6x=t−x

	t2
√x2−6x=t−
	2t−6

	t2−6t
√x2−6x=
	2t−6

	t2−6t		t2−6t
∫		(2		dt)
	2t−6		(2t−6)2

	2		(t2−6t)2
=		∫		dt
	8		(t−3)3

	1		((t2−6t+9)−9)2
=		∫		dt
	4		(t−3)3

	1		(t−3)4−18(t−3)2+81
=		∫		dt
	4		(t−3)3

	1		dt		dt
=		(∫(t−3)dt+81∫		−18∫		)
	4		(t−3)3		t−3

	1		81
=		((t−3)2−		−36ln|t−3|)
	8		(t−3)2

	1	(t−3)4−81		9
=			−		ln|t−3|
	8	(t−3)2		2

	1	(t2−6t+18)	t2−6t		9
=				−		ln|t−3|+C
	2	2t−6	2t−6		2

	1	(t2−3(2t−6))	t2−6t		9
=				−		ln|t−3|+C
	2	2t−6	2t−6		2

	1		9
=		(x−3)√x2−6x−		ln|x−3+√x2−6x|+C
	2		2

Ale skoro już otrzymał taką całkę to może pokażę też sposób Ostrogradskiego na wydzielenie części wymiernej całki Oto jak wygląda wydzielenie części wymiernej całki

	L(x)		L1(x)		L2(x)
∫		dx=		+∫		dx
	M(x)		M1(x)		M2(x)

Mianownik M₂(x) posiada te same czynniki co M(x) tylko że pojedyncze Mianownik M₁(x) możemy obliczyć z zależności M(x)=M₁(x)M₂(x) Liczniki są wielomianami a ich stopień jest mniejszy od odpowiadających im mianowników

	−72t2		a3t3+a2t2+a1t+a0		b1t+b0
∫		dt=		+∫		dt
	(t2−1)3		(t2−1)2		t2−1

	−72t2
∫		dt=
	(t2−1)3

(3a3t2+2a2t+a1)(t2−1)2−4t(a3t3+a2t2+a1t+a0)(t2−1)
	+
(t2−1)4

b1t+b0
t2−1

	−72t2
∫		dt=
	(t2−1)3

(3a3t2+2a2t+a1)(t2−1)−4t(a3t3+a2t2+a1t+a0)
	+
(t2−1)3

b1t+b0
t2−1

−72t²=(3a₃t⁴+2a₂t³+a₁t²−3a₃t²−2a₂t−a₁) −4a₃t⁴−4a₂t³−4a₁t²−4a₀t+(b₁t+b₀)(t⁴−2t²+1) −72t²=−a₃t⁴−2a₂t³−3a₁t²−4a₀t−3a₃t²−2a₂t−a₁ +b₁t⁵−2b₁t³+b₁t+b₀t⁴−2b₀t²+b₀ −72t²=b₁t⁵+(b₀−a₃)t⁴+(−2b₁−2a₂)t³+(−2b₀−3a₃−3a₁)t² +(b₁−2a₂−4a₀)t+b₀−a₁ b₁=0 b₀=a₃ a₂=0 −5a₃−3a₁=−72 a₀=0 a₃−a₁=0 −5a₃−3a₁=−72 5a₃−5a₁=0 −8a₃=−72 a₃=9 a₂=0 a₁=9 a₀=0 b₁=0 b₀=9

	−72t2		9t3+9t		9
∫		dt=		+∫		dt
	(t2−1)3		(t2−1)2		t2−1

	−72t2		9t3+9t		9		2
∫		dt=		+		∫		dt
	(t2−1)3		(t2−1)2		2		t2−1

	−72t2		9t3+9t		9		(t+1)−(t−1)
∫		dt=		+		∫		dt
	(t2−1)3		(t2−1)2		2		(t+1)(t−1)

	−72t2		9t3+9t		9		dt		dt
∫		dt=		+		(∫		−∫		)
	(t2−1)3		(t2−1)2		2		t−1		t+1

	−72t2		9t3+9t		9		t−1
∫		dt=		+		ln|		|+C
	(t2−1)3		(t2−1)2		2		t+1