Oblicz całkę wymierną jareq98: Rozwiąż całkę nieoznaczoną:

	x3+x−1
∫		dx
	(x2+2)2

Całość w mianowniku jest niestety podniesiona do kwadratu. Z góry dziękuję za rozwiązanie z krótkim wyjaśnieniem kroków

Blee: rozpisz inaczej licznik: x³ + x − 1 = x³ + 2x −x − 1 = x(x²+2x) − x − 1 i rozbijasz na trzy ułamki (trzy oddzielne całki) otrzymując:

x		x		1
	−		−
x2+2		(x2+2)2		(x2+2)2

pierwsza całka − podstawienie t = x² + 2 druga całka − podstawienie t = x² + 2 trzecia całka − podstawienie √2tg t = x

jareq98: Dzięki śliczne, jeszcze jakbyś wytłumaczył(a) tę trzecią całkę to byłbym wdzięczny Bo mi wychodzi √t−2=x, ale niezbyt dużo mi to daje

Blee: tg t <−−− 'tanges t'

Blee: x = √2tg t −> x² = 2 tg²t

	1
dx = √2		dt
	cos2t

	sin2t		cos2t + sin2t
więc 2+ x2 = 2(1 + tg2t) = 2(1 +		) = 2		=
	cos2t		cos2t

	2
=
	cos2t

Mariusz:

	x3+x−1		x3+2x−x−1
∫		dx=∫		dx
	(x2+2)2		(x2+2)2

	x(x2+2)−x−1
=∫		dx
	(x2+2)2

	x		x		1
=∫		dx−∫		dx−∫		dx
	x2+2		(x2+2)2		(x2+2)2

Wzór redukcyjny

	dx		1		a2
∫		=		∫		dx
	(x2+a2)n		a2		(x2+a2)n

	dx		1		a2+x2−x2
∫		=		∫		dx
	(x2+a2)n		a2		(x2+a2)n

	dx		1		dx
∫		=		∫		+
	(x2+a2)n		a2		(x2+a2)n−1

1		x	(−(2n−2))x
	∫
a2		2n−2	(x2+a2)n

	dx		1		dx		1	1	x
∫		=		∫		+
	(x2+a2)n		a2		(x2+a2)n−1		a2	2n−2	(x2+a2)n−1

	1	1		dx
−			∫
	a2	2n−2		(x2+a2)n−1

	dx
∫		=
	(x2+a2)n

1	1	x		1	2n−3		dx
			+			∫
a2	2n−2	(x2+a2)n−1		a2	2n−2		(x2+a2)n−1

	x		x		1
∫		dx−∫		dx−∫		dx=
	x2+2		(x2+2)2		(x2+2)2

1		1	1		1	x		1		dx
	ln(x2+2)+			−(			+		∫		)
2		2	x2+2		4	x2+2		4		x2+2

	1		1	1		1	x		1		dx
=		ln(x2+2)+			−			−		∫
	2		2	x2+2		4	x2+2		8		x   1+( )2   √2

	1		1	1		1	x
=		ln(x2+2)+			−			−
	2		2	x2+2		4	x2+2

1	√2		1   dx √2
		∫
4	2		x   1+( )2   √2

	1		1	1		1	x		√2		√2
=		ln(x2+2)+			−			−		arctan(		x)+C
	2		2	x2+2		4	x2+2		8		2

	1	x−2		1		√2		√2
=−			+		ln(x2+2)−		arctan(		x)+C
	4	x2+2		2		8		2

Mariusz: Jeśli mianownik ma pierwiastki wielokrotne to możesz wydzielić część wymierną całki

	L(x)		L1(x)		L2(x)
∫		=		+∫		dx
	M(x)		M1(x)		M2(x)

M₂(x) ma te same czynniki co M(x) tylko że pojedyncze M₁(x) możesz policzyć z zależności M(x)=M₁(x)M₂(x) Liczniki są wielomianami stopnia mniejszego niż odpowiadające im mianowniki Za współczynniki wielomianów w licznikach przyjmujesz współczynniki literowe i różniczkujesz stronami otrzymaną równość

	x3+x−1		a1x+a0		b1x+b0
∫		dx=		+∫		dx
	(x2+2)2		x2+2		x2+2

x3+x−1		a1(x2+2)−2x(a1x+a0)		b1x+b0
	=		+
(x2+2)2		(x2+2)2		x2+2

x³+x−1=a₁(x²+2)−2x(a₁x+a₀)+(b₁x+b₀)(x²+2) x³+x−1=a₁x²+2a₁−2a₁x²−2a₀x+b₁x³+2b₁x+b₀x²+2b₀ x³+x−1=b₁x³+(b₀−a₁)x²+(2b₁−2a₀)x+2b₀+2a₁ b₁=1 b₀=a₁ 2b₁−2a₀=1 2b₀+2a₁=−1 b₁=1 b₀=a₁ 2a₀=1 4a₁=−1 b₁=1

	1
b0=−
	4

	1
a1=−
	4

	1
a0=
	2

	x3+x−1		1	x−2		1		dx
∫		dx=−			−		∫
	(x2+2)2		4	x2+2		4		x2+2

	x3+x−1		1	x−2		1		dx
∫		dx=−			−		∫
	(x2+2)2		4	x2+2		8		x   1+( )2   √2

	x3+x−1		1	x−2		√2		1   dx √2
∫		dx=−			−		∫
	(x2+2)2		4	x2+2		8		x   1+( )2   √2

	x3+x−1		1	x−2		√2		√2
∫		dx=−			−		arctan(		x)+C
	(x2+2)2		4	x2+2		8		2

Mariusz: Nie jestem zwolennikiem stosowania w tej całce podstawienia cyklometrycznego ale za to jakie to modne amerykańskie Podstawienie cyklometryczne jest dobre jako alternatywa dla podstawień Eulera w całkach postaci ∫R(x,√ax²+bx+c)dx gdzie R(x,y) funkcja wymierna dwóch zmiennych przy czym aby skorzystać z podstawienia cyklometrycznego należy najpierw przedstawić trójmian pod pierwiastkiem w postaci kanonicznej Tutaj aby obliczyć tę ostatnią całkę wystarczy wzór redukcyjny bądź wydzielenie części wymiernej całki sposobem Ostrogradskiego