Stosując całkowanie przez podstawianie oblicz całkę Kordian: Stosując całkowanie przez podstawianie oblicz całkę ∫e^−x cos2xdx Czy calka iloczynu to iloczyn calek ?

Bleee: Co do pytania − − − w zyciu ∫2*1 dx = 2x + C ≠ 2x² + C = ∫2dx * ∫1 dx

Kordian: czy da sie rozwiazac ten przyklad bez uzycia wzoru calkowania przez czesci ?

Kordian: podstawiajac pod 2x=t 2dx=dt dx=dt/2

	1
wychodzi mi		∫e−x cost dt = −e−x (−sint) = −e−x (−sin2x)
	2

Czy jest to dobry rachunek ?

Blee: absolutnie NIE Gdy robisz podstawienie to po podstawieniu NIE MA PRAWA występować w żadnym miejscu zmienna (w tym przypadku x) w całce a u Ciebie występuje. Tę całkę rozwiązuje się przez części ... można inaczej, ale przez części będzie najszybciej i najłatwiej (najbardziej 'pewny' wyniku będziesz) Druga sprawa −−− gdy już wyliczysz jakąś całkę to po prostu policz pochodną z wyniku i zobacz czy wyjdzie to co było pod całką, jeżeli nie to znaczy że jest coś nie tak.

jc: Bez całkowania przez części. Od razu 2 całki. Całkowanie przez części też daje od razu 2 całki. ∫cos ax e^bx dx + i ∫sin ax e^bx dx

	1		a−bi
=∫e(a+bi)x dx =		e(a+bi)x =		(cos ax + i sin ax)ebx
	a+bi		a2+b2

	a cos ax + b sin ax		a sin ax − b cos ax
=		ebx + i		ebx
	a2+b2		a2+b2

A teraz sobie podstaw: a=2, b=−1.

Mariusz: Bez zespolonych (z zespolonymi mogą mu nie zaakceptować) ∫e^−x cos2xdx Pierwsze całkowanie przez części u=cos(2x) dv= e^−xdx du=−2sin(2x)dx v = −e^−x ∫e^−x cos2xdx=−e^−xcos(2x)−∫−e^−x(−2sin(2x))dx ∫e^−x cos2xdx=−e^−xcos(2x)−2∫e^−xsin(2x)dx Drugie całkowanie przez części u=sin(2x) dv=e^−xdx du=2cos(2x)dx v = −e^−x ∫e^−x cos2xdx=−e^−xcos(2x)−2(−e^−xsin(2x)−∫−e^−x(2cos(2x))dx) ∫e^−x cos2xdx=−e^−xcos(2x)−2(−e^−xsin(2x)+2∫e^−xcos(2x)dx) ∫e^−x cos2xdx=−e^−xcos(2x)+2e^−xsin(2x)−4∫e^−xcos(2x)dx 5∫e^−x cos2xdx=−e^−xcos(2x)+2e^−xsin(2x)+C₁

	1
∫e−x cos2xdx=−		e−x(cos(2x)−2sin(2x))+C
	5

Mariusz: Przypomnijmy najpierw wzór na całkowanie przez części ∫udv=uv−∫vdu Całkę ∫e^axcos(bx)dx liczymy przez części następująco W pierwszym całkowaniu przez części mamy pewną dowolność wyboru części W pierwszym całkowaniu części możesz dobrać tak u=e^ax dv = cos(bx)dx

	1
du=aeaxdx v=		sin(bx)
	b

albo tak u=cos(bx) dv = e^axdx

	1
du=−bsin(bx) v=		eax
	a

Dobór części w drugim całkowaniu przez części uzależniasz od wyboru części w pierwszym całkowaniu przez części Jeśli chcesz aby ci się całka zapętliła abyś mógł ją przenieść na drugą stronę to w drugim całkowaniu przez części dobierasz części w ten sam sposób co w pierwszym całkowaniu przez części " Od razu 2 całki." Tutaj też masz od razu dwie całki Te całki są niejako stowarzyszone

Mariusz: Jeśli chcemy mieć obydwie całki to po obliczeniu całki ∫e^axcos(bx)dx przekształcamy wynik pierwszego całkowania przez części

jc: Właśnie to napisałem.