Całka Marcin: Obliczyć całkę

	ln(x+√1+x2)
∫√		pierwiastek z całości)
	1+x2

Na zajęciach pod koniec było powiedziane że można to zrobić także korzystając z jakiegoś wzoru Czy ktoś ma jakiś pomysł?

ABC: ln(x+√1+x²) to jest area sinus hiperboliczny

	1
jego pochodna to
	√1+x2

jc: Może to coś pomoże?

	1
[ln(x+√1+x2)]' =
	√1+x2

Marcin: Do tego doszedłem poprzez podstawienie Ale chodzi o jeszcze inny sposób

jc: A gdyby podstawić x=sh t?

	2		2
całka = ∫√t dt =		t3/2 =		[ln(1+√x2)]3/2
	3		3

jc: Jeśli x = sh t, to √1+x²=ch t, dx = ch t dt, ln(x+√x²+1)=t

	2
Powyżej oczywiście wynik =		[ln(x+√x2+1)]3/2.
	3

Marcin: A da się jakoś korzystając z ostatniego wzoru na tej stronie http://matematykadlastudenta.pl/strona/214.html?

Mariusz: Bez hiperbolicusów

	√ln(x+√1+x2)
∫		dx
	√1+x2

	1
u=√ln(x+√1+x2) dv=		dx
	√1+x2

	1	1
du=			dx v=ln(x+√1+x2)
	2√ln(x+√1+x2)	√1+x2

	√ln(x+√1+x2)
∫		dx=√ln(x+√1+x2)ln(x+√1+x2)
	√1+x2

	1		ln(x+√1+x2)	1
−		∫			dx
	2		√ln(x+√1+x2)	√1+x2

	√ln(x+√1+x2)
∫		dx=√ln(x+√1+x2)ln(x+√1+x2)
	√1+x2

	1		√ln(x+√1+x2)
−		∫		dx
	2		√1+x2

3		√ln(x+√1+x2)
	∫		dx=√ln(x+√1+x2)ln(x+√1+x2)+C1
2		√1+x2

	√ln(x+√1+x2)		2
∫		dx=		√ln(x+√1+x2)ln(x+√1+x2)+C
	√1+x2		3

jc: Mariusz, można bez, ale po co?

Mariusz: Może hiperbolicusy nie były wprowadzane ?