Baza klaing: Hej, zaczynam przestrzenie liniowe na algebrze i prosiłbym, żeby ktoś wytłumaczył mi jak zrobić pierwszy podpunkt, dalej zrobię sam. Z góry dzięki. Zbiór wektorów e=(e₁,e₂,e₃) tworzy bazę Czy zbiór f zadany przez równość f₁= e₁ + 2e₂ +e₃ f₂ = 3e₁ + 5e₂ +2e₃ f₃ = 4e₁ + 6e₂ + 3e₃ także tworzy bazę?

klaing: Ponawiam pytanie

Bleee: Zauważ że robiąc kombinacje: f₁ + f₂ − f₃ otrzymasz wektor [1,0,1]e Oznaczmy go jako v₁ Pozniej robimy f₃ − f₂ − v₁ i otrzymujemy wektor [0, 1, 0]e Oznaczmy go jako v₃ Wtedy mamy z gorki: f₂ − 2v₁ − 5v₃ daje nam wektor [1,0,0]e. Oznaczamy jako v₂ I w końcu v₁ − v₂ daje wektor [0,0,1] W ten sposób pokazaliśmy za pomocą przekształceń liniowych jak przejść z tych wektorow do e₁,e₂,e₃ które tworzą bazę, więc i wektory f₁,f₂,f₃ tworzą bazę.

klaing: Czyli wystarczy, że za pomocą moich równości jestem w stanie wyznaczyć każde e, ok dziękuję, mam tylko jeszcze pytanie, jak znaleźć "bazę przejścia" z f do e

Bleee: To co robiłem składa się na bazę przejść

klaing: Czyli jeśli to zapiszę macierzowo i pododaje tak linijki to wyjdzie mi baza przejścia

klaing: OK chyba rozumiem dziękuję

jc: e₁=f₃−3f₁ e₂=f₁+f₂−f₃ e₃=2f₁+f₃−2f₂ Zatem każdy wektor możemy wyrazić jako kombinację liniową wektorów f₁, f₂, f₃. Pomyśl jeszcze, dlaczego wektory f₁, f₂, f₃ są liniowo niezależne.

klaing: Ponieważ da się rozwiązać układ f₃−3f₁=0 f₁+f₂−f₃=0 2f₁+f₃−2f₂=0

klaing: Żeby znaleźć bazę przejścia rozwiązuje układ | 1 2 1 | 1 0 0| | 3 5 2 | 0 1 0| | 4 6 3 | 0 0 1| tak?