Cześć ZombieAZA: Jak wyliczyć z tego równania miejsca zerowe? m³−2m²−9m+6=0

Blee: m = −1 jest jednym z pierwiastków równania dzielisz wielomian W(m) przez (m+1) (np. Hornerem) i później liczysz Δ z tego co zostanie

Blee: tfu ... głupotę napisałem

Blee: a w jaki sposób powstało to równanie

ZombieAZA: To nie jest pierwiastek równania, nie zeruje się dla −1

ZombieAZA: To skomplikowane zadanie ale ostateczne równanie jakie wyszło to m⁴−4m³−5m²+24m−12=0 więc jednym pierwiastkiem jest m=2

Blee: nadal nie wyjaśnione zostało skąd to równanie

Blee: może pierwotne równanie było źle ... a może nie musisz ich (pozostałych pierwiastków) wyznaczać, bo wystarczy pokazać że nie będą one całkowite

ZombieAZA: Ktoś mi napisał taki wzór, przy innym pytaniu: det( Macierzy ) = (−1)2 * (2−m) * det ( minoru A11 ) + (−1)3 * (m−2) * det ( minoru A12 ) ≠ 0 A ja mam macierz: 2−m m 0 0 −1 1−m −1 −1 −1 −1 1−m −1 −1 −1 − 1 1−m ? A więc (−1)2 * (2−m) * det minoru A11 = m4 − 5m3 + m2 + 12m −4 (−1)3 * (m−2) *det minoru A 12 = m3 − 6m2 +12m − 8 A po dodaniu jak w tym wzorze to: m4−4m3−5m2+24m−12=0

Blee: jakieś warunki co do 'm'

ZombieAZA: Raczej nie, mam wyiczyć wszystkie m, wpisałam to do wolframa ale właśnie jest że m=2 a pozostałe 3 pierwiastki w przybliżeniu

ABC: 19:43 to równanie ma 4 pierwiastki rzeczywiste, więc po podzieleniu przez dwumian równanie trzeciego stopnia ma 3 pierwiastki rzeczywiste a to kiepski przypadek

ABC: lepiej chyba od razu próbować to 4 stopnia rozłożyć na dwa trójmiany kwadratowe

ZombieAZA: A potrafi to ktoś tak rozłożyć?

Blee: pierwiastki są 'mocno kapryśne'

ZombieAZA: Hmm no wiem wiem dlatego nie umiem sobie z tym poradzić

ZombieAZA: Zamykam pytanie, już wszystko policzyłam i faktycznie machnęłam się we wcześniejszych obliczeniach. Dzięki za pomoc

Mariusz: Co do wyznacznika to najlepiej rozwinąć względem pierwszego wiersza Jeżeli zadanie ma polegać na obliczeniu wartości własnych to błąd jest już na etapie zapisania wyznacznika macierzy Redukcji do równania trzeciego stopnia można dokonać używając tylko wzorów skróconego mnożenia m⁴−4m³−5m²+24m−12=0 (m⁴−4m³)−(5m²−24m+12)=0 (m⁴−4m³+4m²)−(9m²−24m+12)=0 (m²−2m)²−(9m²−24m+12)=0

	y		y2
(m2−2m+		)2−((y+9)m2+(−2y−24)m+		+12)=0
	2		4

Wyrażenie w drugim nawiasie jest trójmianem kwadratowym i będzie kwadratem zupełnym gdy jego wyróżnik będzie równy zero

	y2
4(		+12)(y+9)−(−2y−24)2=0
	4

(y²+48)(y+9)−(2y+24)²=0 (y³+9y²+48y+432)−(4y²−96y+576)=0 y³+5y²−48y−144=0

	5		25		125
(y+		)3=y3+5y2+		y+
	3		3		27

	5		169		5		25		125		169		845
(y+		)3−		(y+		)=y3+5y2+		y+		−		y−
	3		3		3		3		27		3		9

	5		169		5		2410
(y+		)3−		(y+		)=y3+5y2−48y−
	3		3		3		27

	5		169		5		1478		2410		1478
(y+		)3−		(y+		)−		=y3+5y2−48y−		−
	3		3		3		27		27		27

	5		169		5		1478
(y+		)3−		(y+		)−		=y3+5y2−48y−144
	3		3		3		27

	169		1478
z3−		z−		=0
	3		27

z=u+v (u+v)³=u³+3u²v+3uv²+v³ (u+v)³=u³+v³+3(u+v)uv

	169		1478
u3+v3+3(u+v)uv−		(u+v)−		=0
	3		27

	1478		169
u3+v3−		+3(u+v)(uv−		)=0
	27		9

	1478
u3+v3−		=0
	27

	169
3(u+v)(uv−		)=0
	9

u+v ≠ 0 ponieważ wcześniej przyjęliśmy że z=u+v

	1478
u3+v3−		=0
	27

	169
uv−		=0
	9

	1478
u3+v3=
	27

	169
uv=
	9

	1478
u3+v3=
	27

	4826809
u3v3=
	729

Powyższy układ równań to wzory Vieta dla trójmianu kwadratowego o pierwiastkach u³ oraz v³

	1478		4826809
t2−		+		=0
	27		729

	739
(t−		)2+5872=0
	27

Równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych Możemy dalej je rozwiązywać używając liczb zespolonych albo wrócić do równania

	169		1478
z3−		z−		=0
	3		27

i rozwiązać je używając trygonometrii

	169		1478
z3−		z=
	3		27

z=ucos(θ)

	169   u 3		3
−		=−
	u3		4

169   3		3
	=
u2		4

169		3
	=		u2
3		4

676
	=u2
9

	26
u=
	3

	26
z=		cos(θ)
	3

17576		13182		1478
	cos3(θ)−		cos(θ)=
27		27		27

	739
4cos3(θ)−3cos(θ)=
	2197

	739
cos(3θ)=
	2197

	739
3θ1=arccos(		)
	2197

	739
3θ2=arccos(		)+2π
	2197

	739
3θ3=arccos(		)+4π
	2197

	26		1		739
z1=		cos(		arccos(		))
	3		3		2197

	26		1		739
z2=		cos(		(arccos(		)+2π))
	3		3		2197

	26		1		739
z3=		cos(		(arccos(		)+4π))
	3		3		2197

	5
z=y+
	3

	26		1		739		5
y1=		cos(		arccos(		))−
	3		3		2197		3

	26		1		739		5
y2=		cos(		(arccos(		)+2π))−
	3		3		2197		3

	26		1		739		5
y3=		cos(		(arccos(		)+4π))−
	3		3		2197		3

	y		y2
(m2−2m+		)2−((y+9)m2+(−2y−24)m+		+12)=0
	2		4

	y		y+12
(m2−2m+		)2−(y+9)(m−		)2=0
	2		y+9

	y		y+12
(m2−2m+		)2−(√y+9−		)2
	2		√y+9

	y		y+12		y		y+12
((m2−2m+		)−(√y+9m−		))((m2−2m+		)+(√y+9m−		))=0
	2		√y+9		2		√y+9

	y		y+12		y		y+12
(m2−(2+√y+9)m+		+		)(m2−(2−√y+9)m+		−		)=0
	2		√y+9		2		√y+9

Mariusz: Można też rozkładać odrobinę inaczej m⁴−4m³+2m²+8m−8=0 Przedstawmy wielomian m⁴−4m³+2m²+8m−8 w postaci sumy potęg dwumianu m−1 aby łatwiej było sprowadzić równanie szóstego stopnia do równania trzeciego stopnia (m−1)⁴=m⁴−4m³+6m²−4m+1 (m−1)⁴−4(m−1)²=(m⁴−4m³+6m²−4m+1)−(4m²−8m+4) (m−1)⁴−4(m−1)²=m⁴−4m³+2m²+4m−3 (m−1)⁴−4(m−1)²+4(m−1)=m⁴−4m³+2m²+4m−3+4m−4 (m−1)⁴−4(m−1)²+4(m−1)=m⁴−4m³+2m²+8m−7 (m−1)⁴−4(m−1)²+4(m−1)−1=m⁴−4m³+2m²+8m−8 z=m−1 z⁴−4z²+4z−1=0 z⁴−4z²+4z−1=(z²−pz+q)(z²+pz+r) z⁴+pz³+rz²−pz³−p²z²−prz+qz²+pqz+qr=z⁴−4z²+4z−1 z⁴+(q+r−p²)z²+(pq−pr)z+qr=z⁴−4z²+4z−1 q+r−p²=−4 pq−pr=4 qr=−1 q+r=−4+p² p(q−r)=4 4qr=−4 q+r=−4+p²

	4
q−r=
	p

4qr=−4

	4
2q=−4+p2+
	p

	4
2r=−4+p2−
	p

4qr=−4

	4		4
(−4+p2+		)(−4+p2−		)=−4
	p		p

	4
(−4+p2)2−(		)2=−4
	p

	16
p4−8p2+16−		=−4
	p2

	16
p4−8p2+20−		=0
	p2

p⁶−8p⁴+20p²−16=0 x=p² x³−8x²+20x−16=0 x³−4x²−4x²+16x+4x−16=0 x²(x−4)−4x(x−4)+4(x−4)=0 (x−4)(x²−4x+4)=0 (x−4)(x−2)²=0 x=4 p²=4 p=2 ⋁ p = −2 p=2

	1		4
q=		(−4+p2+		)
	2		p

	1		4
r=		(−4+p2−		)
	2		p

p=2

	1
q=		(−4+4+2)
	2

	1
r=		(−4+4−2)
	2

p=2 q=1 r=−1 z⁴−4z²+4z−1=(z²−2z+1)(z²+2z−1) z=m−1 m⁴−4m³+2m²+8m−8=((m−1)²−2(m−1)+1)((m−1)²+2(m−1)−1) m⁴−4m³+2m²+8m−8=(m²−2m+1−2m+2+1)(m²−2m+1+2m−2−1) m⁴−4m³+2m²+8m−8=(m²−4m+4)(m²−2) m⁴−4m³+2m²+8m−8=(m−2)²(m−√2)(m+√2) (m−2)²(m−√2)(m+√2)=0 m₁=2 m₂=2 m₃=√2 m₄=−√2