równanie różniczkowe
majza: Macie pomysł jak rozwiązać takie równanie różniczkowe: y'=y(t)−y(t)2−t,
Wiem że to równianie Riccatiego, ale nie mam całki szczególnej, więc nie wiem jak ruszyć z
miejsca. Podpowie ktoś?
15 sty 17:55
Mariusz:
Chyba najlepszym pomysłem będzie sprowadzenie równania
do liniowego drugiego rzędu ale może nie mieć ono stałych współczynników
Na oko po sprowadzeniu do równania liniowego będzie ono wyglądać
na równanie Bessela czyli trzeba będzie je całkować szeregami
20 sty 00:18
Mariusz:
Dla równania postaci
y'=P(t)y
2(t)+Q(t)y(t)+R(t)
stosujesz podstawienie
u(t)=e
−∫P(t)y(t)dt
y'=−y(t)
2+y(t)−t,
u(t)=e
−∫−y(t)dt
u'(t)=y(t)e
∫y(t)dt
u'(t)=y(t)u(t)
| | u''(t)u(t)−u'(t)u'(t) | |
y'(t)= |
| |
| | u2(t) | |
| u''(t)u(t)−u'(t)u'(t) | | u'(t) | | u'(t) | |
| =−( |
| )2+ |
| −t |
| u2(t) | | u(t) | | u(t) | |
| u''(t) | | u'(t) | | u'(t) | | u'(t) | |
| −( |
| )2=−( |
| )2+ |
| −t |
| u(t) | | u(t) | | u(t) | | u(t) | |
| u''(t) | | u'(t) | |
| = |
| −t |
| u(t) | | u(t) | |
u''(t)−u'(t)+tu(t)=0
u(t)=∑
n=0∞c
nt
n
∑
n=0∞(n+2)(n+1)c
n+2t
n−(∑
n=0∞(n+1)c
n+1t
n)+∑
n=0∞c
nt
n+1
2c
2+∑
n=1∞(n+2)(n+1)c
n+2t
n
−(c
1+∑
n=1∞(n+1)c
n+1t
n)+∑
n=0∞c
nt
n+1
2c
2−c
1+∑
n=0∞(n+3)(n+2)c
n+3t
n+1−(∑
n=0∞(n+2)c
n+2t
n+1)
+∑
n=0∞c
nt
n+1=0
2c
2−c
1+∑
n=0∞[(n+3)(n+2)c
n+3−(n+2)c
n+2+c
n]t
n+1=0
2c
2−c
1=0
(n+3)(n+2)c
n+3−(n+2)c
n+2+c
n=0
(n+3)(n+2)c
n+3=(n+2)c
n+2−c
n
| | (n+2)cn+2−cn | |
cn+3= |
| |
| | (n+3)(n+2) | |
c
0∊ℛ
c
1∊ℛ
| | (n+2)cn+2−cn | |
cn+3= |
| |
| | (n+3)(n+2) | |
Z powyższego równania rekurencyjnego odtworzysz
całkę ogólną równania liniowego drugiego rzędu a następnie będziesz musiał wrócić do
poprzedniej zmiennej
20 sty 01:55
Mariusz:
| | (n+2)cn+2−cn | |
cn+3= |
| |
| | (n+3)(n+2) | |
| | (n+3)(n+2)!(n+2) | | (n+3)(n+2)(n+1)n!cn | |
(n+3)!cn+3= |
| − |
| |
| | (n+3)(n+2) | | (n+3)(n+2) | |
(n+3)!c
n+3=(n+2)!c
n+2−(n+1)n!c
n
a
n=n!c
n
a
n+3=a
n+2−(n+1)c
n
a
0=c
0
a
1=c
1
a
2=c
1
Funkcja tworząca da wprawdzie równanie liniowe pierwszego rzędu ale
policzenie całek może być kłopotliwe
24 sty 12:50