grupy massia: Czy grupy ℤ₁₅^* oraz ℤ₄ ⊕ ℤ₂ są izomorficzne?

jc: a=2, b=11 kolejne potęgi a: 1, 2, 4, 8 kolejne potęgi b: 1, 11 kolejne potęgi 2 pomnożone przez 11: 11, 7, 14, 13 Każdy element można jednoznacznie zapisać w postaci a^k*b^l,gdzie k∊{0,1,2,3}, l∊{0,1}. I mamy izomorfizm.

massia: Co to jest a i b

Adamm: Z₁₅^* jest izomorficzna do jednej z Z₂³, Z₄ x Z₂, Z₈ bo jest Abelowa i ma 8 = φ(15) elementów. Wtedy 2, 2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 1. Zatem nie jest izomorficzna do Z₂³, bo ta grupa ma jedynie elementy rzędu 2. W dodatku, x² = 1 ma rozwiązania 4 i 11, a Z₈ ma tylko jeden element rzędu 2.

Adamm: Właściwie, to sam ostatni komentarz wystarcza. Skoro x² = 1 ma jedyne nietrywialne rozwiązania 4 i 11 w Z₁₅^*, to nie może być izomorficzna do Z₂³, bo ta grupa ma ich 7.