Liczby zespolone.
Mikolaj: Przedstawić w postaci algebraicznej I trygonometrycznej wszystkie rozwiązania równania z3=i
PW: Podejście algebraiczne:
ponieważ i
3 = − i, równanie można przedstawić w postaci
z
3 + i
3 = 0
i dalej korzystając z wzoru na sumę sześcianów
(z + i) (z
2 − zi + i
2) = 0
(z+i)(z
2 − iz − 1) = 0
Pierwszy czynnik zeruje się dla z
0 = − i, miejsca zerowe drugiego obliczamy za pomocą
wyróżnika Δ:
Δ = (− i)
2 − 4(− 1) = −1 + 4 = 3
| | i − √3 | | i + √3 | |
z1 = |
| , z2 = |
| . |
| | 2 | | 2 | |
Dla pewności sprawdźmy, np. gdy z = z
2, mamy
| | i + √3 | | i3 + 3i2√3 + 3i√32 + √33 | |
z3 = ( |
| )3 = |
| = |
| | 2 | | 8 | |
| | −i − 3√3 + 9i + 3√3 | | 8i | |
= |
| = |
| = i. |
| | 8 | | 8 | |
Sposób z wykorzystaniem postaci trygonometrycznej może kto inny.