PROBABILISTYKA bartekkk1: Proszę proszę o próbę rozwiązania zadań,, chociaż poszczególnych dowolnie wybranych Sprawdzić, czy podany zbiór Σ tworzy σ−ciało nad przestrzenią zdarzeń elementarnych Ω 1. Σ = {{k, k+1, …, n−1, n}: k,n∈N} Ω = N 2. Σ = {{}, N, {1,2,4,8, … }, {0,3,5,6,7,9,10, … }} = {{}, N, {2^k: k∈N}, N−{2^k: k∈N}} Ω = N 3. Σ = {{}, N, {0}, {1,2}, {0,1,2}, {3,4,5,6,7,8}, {1,2,3,4,5,6,7,8}, {0,1,2,3,4,5,6,7,8}, …} = {{}, N} ∪ {{2^k, …, 2^m}, {2^k +1, …, 2^m}: k,m∈N} Ω = N 4. Σ = {{}, {0}, {1,2,3, …}, {…, −3,−2,−1}, {…, −3,−2,−1,1,2,3, …}} Ω = Z 5. Σ = {{}, {0}, {1}, {0,1}, (0,1), [0,1), (0,1], [0,1]} Ω = [0,1] 6. Σ = {{}, {0}, R, (0,+inf), [0,+inf), (−inf,0), (−inf,0], R−{0}} Ω = R

Pytający: 1. Nie, bo {1}∊Σ ∧ (ℕ \ {1})∉Σ. 2. Tak, bo zachodzą wszystkie 3 warunki: • ∅∊Σ, • ∀_A∊Σ(A'∊Σ), // bo {}'=ℕ, {2^k: k∈ℕ}'=(ℕ−{2^k: k∈ℕ}), • dowolna suma zbiorów A_i∊Σ też ∊Σ, bo Σ = {{}, Ω}∪{{2^k: k∈ℕ}, ℕ−{2^k: k∈ℕ}} i dla dowolnego X∊Σ zachodzi X∪{}=X∊Σ, X∪Ω=Ω∊Σ oraz {2^k: k∈ℕ}∪(ℕ−{2^k: k∈ℕ}))∊Σ. 3. Błąd w przykładzie (bądź w uproszczeniu zapisu), przecież nie istnieje takie k∊ℕ, że 2^k=0 (znaczy podane zbiory nie są sobie równe; przykładowo {0} występuje tylko po jednej stronie równości). 4. Nie, bo {0}∪{1,2,3, …} ∉ Σ. 5. Tak. 6. Tak.