Wielomiany Dominik: Niech a będzie liczbą całkowitą. Dla jakich wartości a wielomian x³+3ax²+2ax+a ma pierwiastek wymierny?

===: a=0 wtedy x=0

Dominik: A jakiś tok rozwiązania?

salamandra:

	p
Wielomian ma pierwiastek wymierny, gdy =		, gdzie p to podzielnik wyrazu wolnego, a q to
	q

podzielnik współczynnika stojącego przy najwyższej potędze.

p		a
	=		= a
q		1

W(a) = 0 a³+3a³+2a²+a = 0 4a³+2a²+a = 0 a(4a²+2a+1) = 0 a=0 v 4a²+2a+1 = 0 4a²+2a+1= 0 Δ = 4−8< 0 Tylko dla a = 0.

PW: Nie zgadzam się z tym, że

	p
		= a
	q

(tylko).

Saizou : A skąd pewność, że a jest liczbą pierwszą? Prosty kontrprzykład V(x)=(x−2)(x−3)=x²−5x+6 V(6)≠0

ABC: salamandra a gdyby przykładowo a=60 to przecież jest wielu kandydatów na pierwiastki: 1,2,3,4,5,6 itd, nie tylko 60 dla którego ty piszesz warunek

salamandra: No to trochę się zagalopowałem, myślałem, że to takie proste.

salamandra: Racja, ja nie wziąłem pod uwagę podzielnika wyrazu wolnego, tylko wyraz wolny, a wyraz wolny może mieć dużo podzielników, wybacz Dominik jeśli wprowadziłem Cię w błąd.

Dominik: Luz, nie zdążyłem nawet wejść

Dominik: I jakieś pomysły macie? Może @Mila zerknąłby?

Dominik: anyone?

ABC: co się tak tego uczepiłeś? diamentowy indeks agh czy co?

Dominik: a tak z czystej ciekawości, zadanko zobaczyłem to zaintrygowało.

Blee: musimy rozpatrzeć następujące sytuacje: 1) W(x) = (x−b)(x−c)(x−d) gdzie b ∊ Q 2) W(x) = (x−b)(x² + cx + d) gdzie b ∊ Q zacznijmy od (2) − b*d = a −> d musi być wymierną x(d − bc) = 2ax −> c musi być wymierną więc mamy układ:

⎧	−bd = a
⎨	d − bc = 2a
⎩	−b + c = 3a

c = 3a + b −> d − (3a+b)*b = 2a −> −b((3a+b)*b + 2a) = a

	b3
−b((3a+b)*b + 2a) = a −> a =		co łatwo pokazać, że jest spełnione
	−3b2 +2b − 1

jedynie dla a = 0 (aby a należało do całkowitych −−− czyli by licznik był podzielny przez mianownik) w (1) podobnie działamy

Blee: po chwili zastanowienia się −−− nie trzeba patrzeć na (1) sytuację bo jest to tylko szczególny przypadek drugiej sytuacji. Więc w sumie −−− to kończy zadanie.

Dominik: dziękuję Panie Blee.