aksjomat
Wolfik: Uzasadnij, że dla dowolnych dodatnich liczb a i b prawdziwa jest nierówność
mogę tak zostawić?
a
3+b
3≥a
2+b
2
CND
13 sty 14:35
salamandra: | | 1 | |
No tak średnio, bo jak wstawisz ułamek, np. |
| to zobacz co sie stanie |
| | 2 | |
13 sty 14:38
jc: Wolfik, na prawdę miałeś pokazać, że a3+b3 ≥ a2+b2?
Tak zrozumiałem skrót CND.
Skąd wziąłeś drugą nierówność?
13 sty 14:40
Wolfik: przenoszę wszystko na lewo:
a3−a2+b3−b2≥0
a2(a−1)+b2(b−1)≥0?
13 sty 14:44
Saizou :
| a3 | | b3 | |
| + |
| ≥a2+b2 /ab, bo a, b >0 i nie muszę zmieniać kierunku nierówności |
| b | | a | |
a
4+b
4≥a
3b+ab
3
a
4+b
4−a
3b−ab
3≥0
a
3(a−b)−b
3(a−b)≥0
(a−b)(a
3−b
3)≥0
dokończ
13 sty 14:47
Szkolniak: a,b>0
Przekształcam równoważnie:
a
4+b
4≥a
3b+ab
3
a
4−ab
3+b
4−a
3b≥0
a(a
3−b
3)−b(a
3−b
3)≥0
(a
3−b
3)(a−b)≥0
(a−b)(a
2+ab+b
2)(a−b)≥0
(a−b)
2≥0, bo ⋀(a
2+ab+b
2>0)
a,b>0
Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, zatem powyższa nierówność jest
zawsze spełniona.
13 sty 14:47
Wolfik: co zrobiłem źle?
a2(a−1)+b2(b−1)≥0
z tego nie wynika, że jest to≥0?
13 sty 14:50
Saizou :
Jakieś uzasadnienie dlaczego ma to być prawdą?
13 sty 15:03
Wolfik: skoro a,b>0 to lewa strona nie może być mniejsza od zera, może być tylko <0 lub =0
13 sty 15:07
Saizou :
Tego nie widać z Twojej postaci.
Z całym szacunkiem, mówisz coś takiego: Ten napój w szklance jest biały wiec musi być mlekiem
13 sty 15:08
salamandra: skąd wiesz, że a−1 > 0?
13 sty 15:15
Wolfik: nie wiem tego, wiem tylko, że nie może być mniejsze od zera... czyli żeby udowodnić ≥ albo ≤
nie wystarczy założenie, że jak w moim przypadku lewa strona nie będzie mniejsza od zera,
muszę to dokładnie pokazać
już chyba rozumiem, dziękuję znów
13 sty 15:19
13 sty 15:21
salamandra: a−1 może być mniejsze od zera
13 sty 15:23
Wolfik: a to, że a i b są dodatnie nie wyklucza tego?
13 sty 15:26
salamandra: | | 1 | |
tak jak ci powiedzialem wcześniej − wstaw np. za a = |
| jest dodatnie? jest, więc (a−1) = |
| | 2 | |
13 sty 15:33
Wolfik: no tak...
13 sty 15:36
PW: Można podstawić b = pa, p > 0, wówczas
i nierówność ma równoważną postać
1 + p
4 ≥ p + p
3
p
4 − p
3 ≥ p − 1
p
3(p − 1) ≥ (p − 1).
Zarówno dla p∊(0, 1) jak i dla p∊(1,
∞) nierówność jest oczywista.
13 sty 18:33