Oblicz całkę nieoznaczoną Kacper1997: ∫sinx√1+cos²xdx

ite: Może być w dwudziestu krokach?

Kacper1997: Może być Takie są całki czasem

ite: dwadzieścia jeden https://www.cymath.com/answer?q=Integrate%20sinx*sqrt(1%2Bcos%5E2x)

ABC: ite kto teraz zna funkcję secans? ja swoim uczniom mówię o niej ale wielu takich nie ma

ite: To dobrze, że przy okazji swojego przedmiotu uczysz również historii!

ABC: ja robię różne dygresje cały czas, a historia matematyki to właściwie w 50% matematyka

Kacper1997:

	1
Wystarczy zamienic secans na		i tez mozna liczyc, ale latwiej mozna sie pomylic
	cosx

ite: Może ktoś poda krótszy sposób...

ABC: mamy jedynkę hiperboliczną 1+sh²x=ch²x można w całce ∫√1+u²du podstawić u= sh x du=ch x dx dostajemy całkę ∫chx*√ch²x dx tylko że potem trzeba będzie wracać poprzez funkcje areahiperboliczne więc nie wiem czy wyjdzie krócej

Mariusz: Ja tam wolę użyć pierwszego podstawienia Eulera Tutaj akurat ładnie wyjdzie ∫sin(x)√1+cos²(x)dx t=cos(x) dt=−sin(x)dx −∫√1+t²dt √1+t²=u−t 1+t²=u²−2ut+t² 1=u²−2ut u²−1=2ut

	u2−1
t=
	2u

	2u2−(u2−1)
u−t=
	2u

	u2+1
u−t=
	2u

	2u*2u−2(u2−1)
dt=		du
	4u2

	u2+1
dt=		du
	2u2

	u2+1	u2+1
−∫			du
	2u	2u2

	(u2+1)2
−∫		du
	4u3

	u4+2u2+1
−∫		du
	4u3

	1		1		1
−		(∫udu+∫		du+2∫		du)
	4		u3		u

	1		u2		1
−		(		−		+2ln|u|)+C
	4		2		2u2

	1		u4−1
−		(		+4ln|u|)+C
	8		u2

	1		u4−1
−		(		+ln|u|)+C
	2		4u2

	1		(u2−1)(u2+1)
−		(		+ln|u|)+C
	2		2u*2u

	1		u2−1	u2+1
−		(			+ln|u|)+C
	2		2u	2u

	1
−		(t√1+t2+ln|t+√1+t2|)+C
	2

	1
=−		(cos(x)√1+cos(x)2+ln|cos(x)+√1+cos(x)2|)+C
	2

sec: https://www.youtube.com/watch?v=xl0tN_P_Vro

jc:

	1		dr
t=tg r, 1+tg2r=		, dt =
	cos2r		cos2r

	1		ds
calka = ∫		dr = ∫		, s=sin r,
	cos3 r		(1−s2)2

	1		1		1		1		1
=		∫		+		+		+		)ds
	4		(1−s)2		(1+s)2		1−s		1−s

	1		1		1		t
=		(		−		+ ln(1+s) − ln(1−s)), s=
	4		1−s		1+s		√+t2

a chciałem inaczej ...