Funkcja tworzaca Horqu: Znajdz funkcje tworzaca ciagu rekurencyjnego zadanego zaleznoscia: a_n=−6*a_n−1−9*a_n−2+16n+8 dla n>=2 a₀=3 a₁=9

Pytający: A(x) = = ∑_n=0^∞(a_nxⁿ) = = a₀x⁰ + a₁x¹ + ∑_n=2^∞(a_nxⁿ) = = 3 + 9x + ∑_n=2^∞((−6a_n−1 − 9a_n−2 + 16n + 8)xⁿ) = = 3 + 9x −6∑_n=2^∞(a_n−1xⁿ) −9∑_n=2^∞(a_n−2xⁿ) +8∑_n=2^∞((2n+1)xⁿ)=

	x2(5 − 3x)
= 3 + 9x − 6(x*A(x) − 3x) − 9(x2*A(x)) + 8(		) =
	(1 − x)2

	8x2(5 − 3x)
= 3 + 9x − 6x*A(x) + 18x − 9x2*A(x) +		=
	(1 − x)2

	8x2(5 − 3x)
= 3 + 27x − 6x*A(x) − 9x2*A(x) +
	(1 − x)2

⇒

	8x2(5 − 3x)
A(x) + 6x*A(x) + 9x2*A(x) = 3 + 27x +
	(1 − x)2

⇒

	8x2(5 − 3x)
(1 + 6x + 9x2)*A(x) = 3 + 27x +
	(1 − x)2

⇒

	8x2(5 − 3x)   3 + 27x +   (1 − x)2
A(x) =		= ← WYNIK
	(1 + 6x + 9x2)

	8x2(5 − 3x)   3 + 27x +   (1 − x)2
=		=
	(3x + 1)2

	3x3 − 11x2 + 21x + 3
=
	(x − 1)2 (3x + 1)2

• ∑_n=2^∞(a_n−1xⁿ) = = ∑_n=1^∞(a_nx^{n + 1}) = = x∑_n=1^∞(a_nxⁿ) = = x(∑_n=0^∞(a_nxⁿ) − a₀x⁰) = = x(A(x) − 3) = = x*A(x) − 3x • ∑_n=2^∞(a_n−2xⁿ) = = ∑_n=0^∞(a_nxⁿ⁺²) = = x²*∑_n=0^∞(a_nxⁿ) = = x²*A(x) • ∑_n=2^∞((2n + 1)xⁿ) = = ∑_n=0^∞((2(n + 2) + 1)xⁿ⁺²) = = x²∑_n=0^∞((2(n + 2) + 1)xⁿ) = = x²∑_n=0^∞((2(n + 1) + 3)xⁿ) = = x²(2∑_n=0^∞((n + 1)xⁿ) + 3∑_n=0^∞(xⁿ)) =

	1		1
= x2(2*		+ 3*		) =
	(1 − x)2		1 − x

	2 + 3(1 − x)
= x2*		=
	(1 − x)2

	x2(5−3x)
=
	(1 − x)2