Przekształcenia liniowe albi: Witam mam problem z następującym zadaniem: Jeśli przekształcenie nie jest izomorfizmem, wyznaczyć bazy jego jądra i obrazu. φ:R⁴→R³ φ(x,y,z,t) = (x−2y, x+2z, x−y+z) Zapisałem macierz przekształcenia, wyszło mi że to przekształcenie faktycznie izomorfizmem nie jest, rząd przekształcenia wynosi 2 i przykładowa baza obrazu to (1,1,1), (−2, 0, −1). Jednak mam problem z wyznaczniem bazy jądra, wiem tylko że będzie ona 1 wymiaru

ABC: x−2y=0 x+2z=0 x−y+z=0 z pierwszego x=2y , podstawiamy do dwóch pozostałych: 2y+2z=0 2y−y+z=0 y+z=0 y+z=0 dwa takie same równania, jedno tylko bierzemy, wyznaczamy z: z=−y (2y,y,−y) baza jądra z jednego wektora na przykład (2,1,−1)

albi: dziękuję bardzo

albi: A spytam jeszcze o drugi przykład φ(x, y) = (x−2y, 0, 4y−2x, 0) To tu będę miał bazę jądra złożoną z 3 wektorów liniowo niezależnych i tak jak wychodzi wyżej mamy (2y, y, 0 , 0) więc jeden z wektorów będzie np (2,1,0,0) i moge dopełnić to wektorami np (0,0, 1,0) i (0,0,01) A może powinienem wziąć po prostu że to jest (2y, y ,z ,t) gdzie z, t ∊ R i dbać o to by te 3 wektory były niezależne? I wtedy, raczej (2,1,1,0) i (2,1,0,1)

ABC: masz tu naprawdę tylko jedno równanie x=2y , jeśli przyjmiesz y jako parametr to (2y,y) czyli baza jądra (2,1) − pamiętaj gdzie leży jądro a gdzie obraz przy okazji tam wyżej nie zauważyłem że twoje przekształcenie jest z R⁴ w R³ , bo zmienna t nie była we wzorze w postaci jawnej, i tam będzie inna odpowiedź, ponieważ t jest dowolne, masz (2y,y,−y,t)=(2,1,−1,0)y+(0,0,0,1)t i jądro jest wymiaru 2

albi: źle popatrzyłem na wzór i odejmowałem cały czas zły wymiar, dziękuję