aksjomat Wolfik: Wykaż, że niezależnie od p wielomian W(x)=x³−(p+1)x²+(p−3)x+3 ma pierwiastek całkowity. Oblicz dla jakiego p pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny. zał: W(x)=x³−(p+1)x²+(p−3)x+3 teza: W(x) ma pierwiastek całkowity x₀∊C pierwszą część wydaje mi się, że zrobiłem, ale nie wiem czy dobrze p:+−1 q:+−1,+−3

p		1
	:+−1, +−
q		3

W(1)=1−p−1+p−3+3=1∊C tak jak w tezie CND co z drugą częścią?

Saizou : Skoro wiesz że W(1)=1−p−1+p−3+3=0 to podziel W przez x−1 i otrzymasz funkcje kwadratową, której pierwiastki będziesz mógł obliczyć (albo jakoś podziałać wzorami Viete'a)

mat123: Załóżmy, że nasz ciąg ma postać: a b c 1) a = x₀ (1 b c) Z zał. wiemy, że 2b = a+ c (2b = 1 + c) Stosując wzory Viete'a dla wielomianu stopnia 3 otrzymujemy: p+1 = a + b + c <=> p + 1 = 1 + b + c <=> p = b + c −3 = abc <=> − 3 = bc rozwiąż układ równań, b i c to szukane pierwiastki. 2) (a 1 c) 3) (a b 1) 2. i 3. Analogicznie do powyższego

Mila: Podpowiedź: 1) Masz kolizję oznaczeń: 2) W(1)=0 i 1∊C 3) Spróbuj skorzystać z wzorów Viete'a: musisz ustalić kolejność pierwiastków,

Wolfik: czyli W(x)=(x−1)[x²−(p+1)x+6]?

Mila: W(x)=(x−1)*(x²−px−3) x²−px−3=0 Teraz wzory Viete'a: x₁+x₂=p x₁*x₂=−3 dalej próbuj

Wolfik: gdzie zrobiłem błąd w tym dzieleniu? x²−(p+1)x−2+6 __________________ x³−(p+1)x²+(p−3)x+3 : x−1 −x³+1 __________________ −(p+1)x²+(p−3)x+4 (p+1)x²−(p+1)x+4 __________________ −2x+8 2x−2 _____ = 6

Wolfik: okej, wiem gdzie zrobiłem błąd

Wolfik: x²−px−3 __________________ x³−(p+1)x²+(p−3)x+3 : x−1 −x³+x² __________________ −px²+(p−3)x+3 px²−px+3 ____________ −3x+6 3x−3 ______ = 3

Wolfik:

−b
	=p/*a
a

−b
	=a
p

c
	=−3/*a
a

c
	=a
−3

co dalej?

Mila: (x³−(p+1)x²+(p−3)x+3) : (x−1)=x²−px−3 −(x³−x²) ======== x²*(−p−1+1)+(p−3)x=−px²+(p−3)x −(−px²+px) ======== −3x +3 −(−3x+3) ======= 0

Mariusz: Dzielenie także wygodniej było wykonać wykorzystując wzory Vieta Z wzorami Vieta możesz łatwo podzielić w pamięci

Mila: Następna podpowiedź: x₀=1 jest pierwiastkiem W(x) (*) x²−px−3=0 Δ=p²+12>0 dla p∊R⇔istnieją dwa różne rozwiązania równania (*) x₁+x₂=p x₁*x₂=−3⇔jedno z rozwiąząń jest ujemne Niech x₁<0 1) Ustawiam wyrazy ciągu: x₁, 1, x₂⇔

x1+x2
	=1 własność c.a
2

⇔x₁+x₂=2 i x₁+x₂=p⇔ p=2 oblicz x₁, x₂ i sprawdź , czy masz c.a Sprawdź inną kolejność wyrazów ciągu działaj dalej sam

Wolfik: co z tą trójką przy: x²(−p−1+1)+(p−3)x? chodzi mi o ten wyraz wolny

Wolfik: niewazne, kolejna moja glupota

Wolfik: x²−2x−3=0 x₁=−1 x₂=3 czyli: ciąg arytmetyczny (−1,1,3) dziękuję bardzo za pomoc : ))