Planimetria Saizou : Dalszy ciąg zmagań Zad 1 Stosunek długości podstaw trapezu równoramiennego wynosi 5:3. Przekątna trapezu ma długość √65, a jego ramię jest równe 5√2. Oblicz długości podstaw oraz pole tego trapezu. Czy w ten trapez można wpisać okrąg? Zad 2 W okrąg wpisano trapez o wysokości h. Kąt między promieniami okręgu poprowadzonymi do końców jednego z ramion trapezu jest równy 2α. Wykaż, że pole tego trapezu wyraża się wzorem

	h2
P=
	tgα

Zad 3 Oblicz pole rombu, jeżeli jedna z jego przekątnych ma długość 8, a promień okręgu wpisanego w ten romb jest równy 2√3 Zad 4 Stosunek boków równoległoboku wynosi 4:5, a jego obwód jest równy 18 cm. Oblicz cosinus kąta ostego tego równoległoboku, jeżeli krótsza przekątna ma 6 cm. Zad 5 Przekątna trapezu równoramiennego ma długość 2√7 cm, a jego obwód jest równy 16 cm. Oblicz długości boków trapezu, jeżeli wiadomo, że w ten trapez można wpisać okrąg.

a@b: Wreszcie ...moja ukochana planimetria

Saizou : Specjalnie dla Ciebie

a@b: Pozwolę ....... wykazać się maturzystom

Szkolniak: Zadanie 1 a − ramię trapezu a=5√2 d − przekątna trapezu d=√65 h − wysokość trapezu b − górna podstawa c − dolna podstawa h²+9x²=d² ∧ h²+x²=a² h²=65−9x² ∧ h²=50−x² stąd: 65−9x²=50−x²

	15		√15		√30
15=8x2 ⇒ x2=		⇒ x=		⇒ x=
	8		2√2		4

	3√30
b=3x=
	4

	5√30
a=5x=
	4

h (z twierdzenia Pitagorasa) h²=a²−x²

	15
h2=50−
	8

	385
h2=
	8

	√385		√770
h=		⇒ h=
	2√2		4

P − pole trapezu

	1
P=		*(a+b)*h
	2

	1		7√30		√770		70√231		35√231
P=		*		*		=		=
	2		4		4		32		16

okrąg możemy wpisać wtedy, gdy a+a=8x: 2a=8x a=4x

	5√30		√30
		=4*
	4		4

	5√30
		≠√30, zatem nie można w niego wpisać okręgu
	4

Saizou : Pierwszy Pitagoras do poprawki

Szkolniak: rzeczywiście, (4x)² wtedy x=1, górna podstawa 3, dolna 5, wysokość 7, pole 28 i nie można wpisać w niego okręgu, bo 10√2≠8

Saizou : i rachunki przyjemniejsze

Mila: Błąd: Powinno być: 50=h²+x² 65=h²+16x²

a@b: dwa razy z Pitagorasa h²=65−16a² i h²=50−a² to 15a²=15 ⇒ a=1 |AB|=5 , |CD|=3 i h=7

a@b:

	a+b
|AE|=
	2

	a+b
P=		*h= 4a*h=28
	2

Szkolniak: Zadanie 4 L − obwód rownoległoboku L=18 L=18x 18x=18 ⇒ x=1 d − krótsza przekątna równoległoboku liczymy pole ΔADB na dwa sposoby:

	5h
1) P=
	2

	15		5		3		7		1575		15√7
2) P=√		*		*		*		=√		=
	2		2		2		2		16		4

zatem:

	5h		15√7
		=
	2		4

	3√7
10h=15√7 ⇒ h=
	2

liczymy pole równoległoboku na dwa sposoby:

	3√7		15√7
1) P=5x*h=5*		=
	2		2

2) P=a*b*sinα=20*sinα zatem:

	15√7
		=20*sinα
	2

	3√7
15√7=40*sinα ⇒ sinα=
	8

z jedynki trygonometrycznej:

	63
cos2α=1−
	64

	1
cos2α=
	64

	1		1
|cosα|=		⇒ cosα=		(ujemne rozwiązanie odrzucamy, ponieważ α∊(0o;90o))
	8		8

a@b: z tw. kosinusów

	42+52−62
cosα=		= ........
	2*4*5

	1
cosα =
	8

a@b: @ Szkolniak Na maturze zabraknie Ci czasu na takie ( rozwlekłe rozwiązania

Szkolniak: Właśnie czasami ciężko mi jest dostrzec najbardziej optymalną metodę.. Chociaż czy to naprawdę jest zadanie z roszerzenia?

a@b:

a@b: Nie ważne czy podstawa czy rozszerzenie Ważne jest krótkie rozwiązanie !

a@b: Dawaj zad2 ma być krótkie rozwiązanie

Szkolniak: Trapez wpisany w okrąg zawsze będzie równoramienny, prawda?

a@b: 1/ rys. 2/ Napisz komentarze : jaki to musi być trapez, co powiesz o kącie BAC

	a+b
|AB|=		−−− dlaczego
	2

wyznacz |AE| z f. tryg. 3/ P=..... i po ptokach c.n.w.

a@b: tak ( i to odp na 2/

a@b: Sorry poprawiam chochlika

	a+b
|AE|=
	2

Szkolniak: W takim razie kiedy narysowalibyśmy trapez wpisany w okrąg moim sposobem, a kiedy Twoim? I czy moja interpretacja tego zadania mogłaby być prawidłowa? (β=2α)

Szkolniak: β=2α

	(a+b)h
P=
	2

	h
tgα=
	a+b   2

	2h		2h
tgα=		⇒ a+b=
	a+b		tgα

	1		h		h2
P=		*2*		*h=		, cnw.
	2		tgα		tgα

Teoretycznie chyba też dało radę

a@b: Dokładnie Wniosek: nie jest ważne jak narysujesz ten trapez

Szkolniak: No i pięknie Starczy na dziś, też nie ma co zabierać innym przyjemności

a@b: Pora spać Dobranoc

Saizou : Zad 4 jest z rozszerzenia, ponieważ na podstawach nie ma tw. cosinusów

a@b: Zad3 P=32√3 ======

Saizou : Zapraszam dalej @Szkolniak nie ma co zostawiać innym Zadań mamy mnóstwo

Szkolniak: Już się robi

Szkolniak: d=2√7 l − obwód trapezu l=16 l=a+b+2c stąd: c=4 w trapez można wpisać okrąg, zatem a+b=2c h z twierdzenia Pitagorasa:

	a+b
h2=d2−(		)2
	2

h²=28−16 ⇒ h=2√3

	(a−b)2
a+b=8 ∧		=c2−h2
	22

(a−b)²=4(16−12) ⇒ a−b=4

⎧	a+b=8
⎩	a−b=4

a=6 ∧ b=2

Saizou : Zad 6 Bok kwadratu ABCD ma długość 2. Na bku BC obrano punkt E, a na boku CD punkt F, taki że

|CE|
	=2. Przyjmując że |DF|=x, oblicz wartość x, dla której pole trójkąta AEF
|DF|

jest najmnejsze. Zad 7 W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne AC i BC mają długości odpowiednio 12 i 9. Na boku AB wybrano taki punkt D, że odcinki BC i BD są równe. Oblicz cosinus kąta BCD, promień okręgu wpisanego w trójkąt BCD i promień okręgu opisanego na tym trójkącie. Zad 8 Przekątna trapezu równoramiennego ma długość d i jest nachulona do dłuższej podstawy pod kątem α. Wykaż, że

	1
a) pole tego trapezu wyraża sie wzore P=		d2sin(2α)
	2

b) jeżeli w ten trapez można wpisać okrąg, to obwód tego trapezu jest równy 4d•cosα

Szkolniak: Zadanie 6 a=2 h=2−2x g=2−x P_ΔAEF=P_kw−P_ΔABE−P_ΔECF−P_ΔFDA P_ΔAEF=4−2+2x−x(2−x)−x P_ΔAEF=x²−x+2 niech P(x)=x²−x+2, x∊D=(0;1)

	1
a=1>0, zatem wartość największa przyjmowana jest w x=		∊D
	2

Saizou :

Szkolniak: ad a

	(a+b)h
P=
	2

	h
sinα=		⇒ h=d*sinα
	d

	a+b   2
cosα=		⇒ a+b=2d*cosα
	d

	1		1
P=		*2d*cosα*d*sinα=		*d2*sin2α, cnw.
	2		2

ad b w trapez można wpisać okrąg, zatem a+b=2c l − obwód trapezu l=a+b+2c=4c

	a+b
cosα=
	2d

	c
cosα=		⇒ c=d*cosα
	d

a więc l=4d*cosα, cnw. nikt nie bierze to ja dokończę

Szkolniak: nie wiem jak dalej to ugryźć wyznaczyłem wszystkie kąty za pomocą α i próbowałem z twierdzenia sinusów, ale coś nie mogę złapać żadnej zależności odpowiedniej

a@b:

	3		4
|AB|=15 cosβ=		i sinβ=
	5		5

to sin(β/2)= cosγ

	√5
1−cosβ= 2sin2(β/2) ⇒ ......... sin(β/2)=
	5

	√5
zatem cos(∡BCD)=
	5

==============

	9√5
WΔDBE : x=9*sin(β/2) ⇒x=
	5

	18√5
to |DC|=2x=
	5

z tw. sinusów

	x		9√5
R=		⇒ R=
	sinβ		4

============

	1
P(ΔBCD)=		*9*9*sinβ
	2

	162
P=
	5

	2P
r=		⇒ r=.................
	9*9+2x

	18
r=
	5−√5

========== Można jeszcze ( jak wymagają .... usunąć niewymierność z mianownika Ładne zadanko

a@b: @Saizou Czy takie są odpowiedzi ? Mam nadzieję,że się nie pomyliłam ( o tak późnej porze)

Saizou : na zdrowie Eta bardzo ładnie Szkolniak