Całki Nowa: Może mi ktoś wytłumaczyć lub doradzić jakim sposobem jaką całkę obliczać ,albo jak rozróżnić jaką metodą najłatwiej ? Bo często jak widzę do obliczenia całkę to nie wiem jaką metodą ją obliczyć może są jakieś zależności

Saizou : Ćwiczyć na różne sposoby, w końcu wyczujesz co jest łatwiejsze.

Blee: Nikt Ci nie poda gotowej odpowiedzi która będzie właściwa dla każdej możliwości. Najłatwiej −−− przerób 100−200 albo i więcej całek ... dojdziesz do takiej wprawy że patrząc na całkę będziesz nie tylko 'czuł' jaką metodą rozwiązać ją, ale nawet przewidywał wynik (swego czasu jak tak miałem z RR'ami −−− patrzyłem na równanie i 'zgadywałem' rozwiązanie )

Nowa: a są jakieś zaleźności kiedy do jakiej metody nie robić czegoś bo nam odrazu nie wyjdzie ?

Blee: np. taka: 1) jeżeli masz obliczyć całkę z iloczynu dwóch funkcji 'z innej parafii' (np. sinx*ln(x) albo x²*arcsinx) to wskazówka, że będziesz robić przez części 2) jeżeli masz do policzenia całkę z funkcji której całki nie znasz (np z lnx albo arcsinx itd.) to znak że będziesz robić to przez części 3) gdy masz wielomian przez wielomian i w mianownik możesz przedstawić w postaci iloczynowej −−− przez rozkład na ułamki proste 4) gdy widzisz 'pochodną' w liczniku −−− przed podstawienie itd. itp.

Mariusz: Całkowanie przez części Jeżeli potrafisz przedstawić funkcję podcałkową w postaci iloczynu dwóch czynników z których jeden czynnik łatwo scałkować a całka która zostanie po całkowaniu przez części będzie łatwiejsza do policzenia to taką całkę liczysz przez części Przez części dość często wyprowadzasz też wzory redukcyjne Co do wyboru odpowiedniego podstawienia to też są pewne wskazówki W sieci można dostać takie książki elektroniczne http://matwbn-old.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=15&wyd=10&jez=pl http://kielich.amu.edu.pl/Stefan_Banach/rachunek.html Jeśli masz dostęp do biblioteki to można by polecić inne książki

Mariusz: Jeśli chodzi o dobór podstawienia to dla całek postaci ∫R(x,√ax²+bx+c)dx gdzie R(x,y) jest funkcją wymierną dwóch zmiennych masz podstawienia Eulera √ax²+bx+c=t−√ax , gdy a>0 √a(x−x₁)(x−x₂)=(x−x₁)t, gdy b²−4ac > 0 Te podstawienia wystarczą do sprowadzenia całek postaci ∫R(x,√ax²+bx+c)dx do całek z funkcji wymiernej ale jest jeszcze jedno podstawienie Eulera które czasem może wymagać mniej obliczeń √ax²+bx+c=xt+√c, gdy c>0 Co do podstawień Eulera to znając je możesz wymyślić podstawienie sprowadzające całki postaci ∫R(cos(x),sin(x))dx do całek z funkcji wymiernej

	π
Dla uproszczenia załóżmy że x∊[0,		]
	2

Z jedynki trygonometrycznej mamy że cos²(x)+sin²(x)=1 cos²(x)=1−sin²(x) cos(x)=√1−sin²(x) Korzystając z trzeciego podstawienia Eulera wnosimy że pasującym podstawieniem będzie cos(x)=(1−sin(x))t Całki postaci ∫x^m(a+bxⁿ)^p , m,n,p ∊ ℚ bywają nazywane całkami z różniczki dwumiennej i są wyrażone za pomocą funkcyj elementarnych tylko w trzech przypadkach p∊ℤ , x=t^s , gdzie s=NWW(m,n)

m+1
	∊ℤ, (a+bxn)=ts, gdzie s to mianownik p
n

m+1		a+bxn
	+p∊ℤ,		=ts, gdzie s to mianownik p
n		xn

Jeśli się spotkasz z hiperbolicusami to możesz zamienić je na eksponentę

jc: Mariusz, tu możesz zobaczyć, jak całkuje maxima (nic niezwykłego): http://maxima.sourceforge.net/docs/tutorial/en/gaertner-tutorial-revision/Pages/SI001.htm http://maxima.sourceforge.net/docs/tutorial/en/gaertner-tutorial-revision/Pages/ExamplesSecondStage.htm

Mariusz:

	ln(x)
∫		dx
	(ln(x)+1)2

Przez części

	1		xln(x)		ln(x)+1
∫xln(x)		dx=−		+∫		dx
	x(ln(x)+1)2		ln(x)+1		ln(x)+1

	1		xln(x)
∫xln(x)		dx=−		+∫dx
	x(ln(x)+1)2		ln(x)+1

	1		xln(x)
∫xln(x)		dx=−		+x+C
	x(ln(x)+1)2		ln(x)+1

	1		−xln(x)+x(ln(x)+1)
∫xln(x)		dx=		+C
	x(ln(x)+1)2		ln(x)+1

	1		−xln(x)+xln(x)+x
∫xln(x)		dx=		+C
	x(ln(x)+1)2		ln(x)+1

	1		x
∫xln(x)		dx=		+C
	x(ln(x)+1)2		ln(x)+1

Mariusz: @Nowa jak chcesz to możemy poćwiczyć liczenie całek Jeśli znasz już pojęcia wstępne jak np funkcja podcałkowa, funkcja pierwotna oraz tabelkę całek to proponuję zacząć od całek które wymagają tylko liniowości liniowość to addytywność i jednorodność