zadanie akbar: rozwiąż równanie x_n+2 = 2x_n+1 − 2x_n

janek191: Czy to jest pełna treść zadania?

akbar: tak

Adamm: y²−2y+2 = 0 y = 1±i x_n = A(1+i)ⁿ+B(1−i)ⁿ dla pewnych A, B

Sulien: A co oznaczają przypisy przy n+2 przy x. Jeżeli jest umieszczone ponad podstawą to jest potęga a jeżeli poniżej

Mariusz: Funkcja tworząca jest wygodniejsza bo nie musisz zgadywać x_n+2 = 2x_n+1 − 2x_n X(t)=∑_n=0^∞x_ntⁿ ∑_n=0^∞x_n+2tⁿ⁺²=2(∑_n=0^∞x_n+1tⁿ⁺²)−2(∑_n=0^∞x_ntⁿ⁺² ∑_n=0^∞x_n+2tⁿ⁺²=2t(∑_n=0^∞x_n+1tⁿ⁺¹)−2t²(∑_n=0^∞x_ntⁿ) ∑_n=0^∞x_ntⁿ−x₀−x₁t=2t(∑_n=0^∞x_ntⁿ−x₀)−2t²(∑_n=0^∞x_ntⁿ) X(t)−x₀−x₁t=2tX(t)−2x₀t−2t²X(t) X(t)(1−2t+2t²)=x₀+(x₁−2x₀)t

	x0+(x1−2x0)t
X(t)=
	(1−t)2+t2

	x0+(x1−2x0)t
X(t)=
	(1−(1+i)t)(1−(1−i)t)

	A		B
X(t)=		+
	1−(1+i)t		1−(1−i)t

Tutaj składniki rozwijasz w szereg geometryczny w sposobie poprzednika to zgadywanie Jeśli chcesz wyrazić A oraz B za pomocą początkowych wyrazów ciągu to rozwiązujesz układ równań A(1−(1−i)t)+B(1−(1+i)t)=x₀+(x₁−2x₀)t A−(1−i)At+B−(1+i)Bt=x₀+(x₁−2x₀)t A+B=x₀ −(1−i)A−(1+i)B=x₁−2x₀ (1+i)A+(1+i)B=(1+i)x₀ −(1−i)A−(1+i)B=x₁−2x₀ 2iA=(−1+i)x₀+x₁

	i
A=−		((−1+i)x0+x1)
	2

(1−i)A+(1−i)B=(1−i)x₀ −(1−i)A−(1+i)B=x₁−2x₀ −2iB=(−1−i)x₀+x₁

	i
B=−		((1+i)x0−x1)
	2

	i
−		((−1+i)x0+x1)(∑n=0∞(1+i)ntn)
	2

	i
−		((1+i)x0−x1)(∑n=0∞(1−i)ntn)
	2

	i		i
xn=−		((−1+i)x0+x1)(1+i)n−		((1+i)x0−x1)(1−i)n
	2		2

Teraz jeśli chcesz się pozbyć liczb zespolonych to przechodzisz na postać trygonometryczną i wykonujesz na niej potrzebne potęgowania i mnożenia Może być przydatny wzór de Moivre'a

Adamm: tylko, że to 'zgadywanie' zawsze działa

Mariusz: Funkcjami tworzącymi można rozwiązać więcej równań np równanie na liczby Catalana Zwykle używa się jednej z dwóch funkcji tworzących *zwykła funkcja tworząca dla ciągu jedynek daje szereg geometryczny i wg mnie powinna być nazywana geometryczną funkcją tworzącą *wykładnicza Poza tym są jeszcze inne sposoby rozwiązywania liniowych równań rekurencyjnych np ten zbliżony do rozwiązywania równań różniczkowych Równanie jednorodne przekształcasz w układ równań i rozwiązujesz metodami algebraicznymi np potęgując macierz Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego można znaleźć uzmienniając stałe Przyda się tutaj rachunek różnicowy do obliczania sum w tym sumowanie przez części Sposób o którym wspomniałem wymaga mniej zgadywania

Mariusz: Adam Dlaczego nie będziesz dobrym nauczycielem Po pierwsze wyśmiewasz błędy uczniów (tutaj użytkowników forum) Po wtóre mimo iż znasz dany temat to nie umiesz go przedstawić uczniowi w zrozumiały sposób Kiedyś czytałem że Gauß mimo iż był dobrym matematykiem to był miernym nauczycielem i ogólnie rzecz biorąc nie lubił uczyć

Adamm: Z tym wyśmiewaniem to nie do końca prawda. W sumie to nie wiem kiedy wyśmiewałem czyjeś błędy, możliwe, że zwróciłem na nie uwagę. Ale o to przecież chodzi − by zwracać uwagę na czyjeś błędy, tak żeby się nie powtarzały, a przynajmniej żeby ich unikać. Oczywiście, nie zawsze, czasami poprawia się czyjeś błędy po prostu po to by było poprawnie. Więc nie do końca rozumiem, to jest raczej zaleta. Jeśli chodzi o drugie, to wcale nie widziałem żeby wiele osób pytało się mnie o ponowne wyjaśnienie czegoś, a jak już pytali, to albo po prostu nie rozumieli formalizmu (rzadziej), albo nie potrafili abstrakcyjnie myśleć, na co już nic nie poradzę. Zdarza się też, że czegoś do końca nie wyjaśniłem, to akurat mój błąd, albo zwykłe lenistwo. W końcu, by kogoś czegoś nauczać, nie wystarcza klarowne wyjaśnienie, tylko chęć ucznia, i zdolność do uczenia się danego tematu. Czy to wada? Wadą jest na pewno moje lenistwo, ale też nie mam zamiaru spędzać całego czasu na przydługie wyjaśnienia każdej błahostki, a przynajmniej nie mam zamiaru tego robić będąc niepytanym. Reszta moim zdaniem to po prostu preferencja. A po trzecie, żyjemy w innych czasach, i mimo że ludzie niby są ci sami, to jednak jest spora różnica. Dlatego porównanie do Gaussa nie na miejscu. Nie mówiąc już o tym, że nic jak na razie wielkiego nie osiągnąłem, więc nie życzę sobie, żeby mnie do takich ludzi porównywać.

Adamm: I teraz tak. Metoda przewidywań dla ciągów danych przez rekurencje liniowe jest po pierwsze szybsza od metody funkcji tworzących, a po drugie zawsze działa, więc to nie jest zgadywanie. Skoro twierdzisz inaczej, to po prostu kłamiesz.

Adamm: Jesteś bardziej polityczny, niż matematyczny.

Mariusz: W porównaniu do funkcji tworzących to wygląda na zgadywanie W przypadku funkcji tworzących rozwijamy składniki w szereg geometryczny bądż w pochodne szeregu geometrycznego a w metodzie którą przedstawiłeś nie wiadomo skąd ta potęga i wielomian przed potęgą w przypadku pierwiastków wielokrotnych Część niejedorodna to wymaga rozpatrywania dużo przypadków często uczonych na pamięć Zgadza się że metoda funkcji tworzącej jest wolniejsza przez co w klasie nie nadążałem zapisywać rachunków ale za to jest wygodniejsza Skoro nie chcesz być porównywany z Gaussem to możesz potraktować to po pierwsze jako ciekawostkę a po wtóre jako przykład że bycie dobrym matematykiem nie oznacza bycia dobrym nauczycielem 11 sty 2020 20:42 pozwoliłem sobie wyrazić moją opinię o tobie

Mariusz: Może moja niechęć do tej metody wynika ze sposobu jej przedstawienia ponieważ została mi ona przedstawiona do nauczenia na pamięć Adam W chwili obecnej sposób który zaproponowałem czyli * przekształcenie równania w układ równań i rozwiązanie tego układu metodą algebraiczną potęgując macierz * znalezienie rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego uzmienniając stałe zdaje się wymagać mniej zapamiętywania ale może umiałbyś przedstawić metodę której użyłeś w sposób w którym każdy krok tej metody byłby zrozumiały a nie tak jak mnie uczono tzn rozbito metodę na przypadki i kazano nauczyć się tych przypadków na pamięć

ABC: Mariusz , dawno nie zaglądałem do tej cegły Ross, Wright "Matematyka dyskretna" (pdf w języku polskim można znaleźć w sieci) ale z tego co pamiętam tam metoda przewidywań jest przedstawiona w taki sposób że wiadomo dlaczego akurat takie przypadki są. A co sposobu rozwiązywania zadań przez Adama, to moim zdaniem czasem zamieszcza bardzo ciekawe sposoby rozwiązań, ale jest skąpy w komentarzach i ogólnie te rozwiązania nadają się najbardziej dla pasjonatów matematyki , ludzi którzy sami pracują i potrzebują tylko wskazówki , nakierowania aby przejść najbardziej krytyczny moment zadania, a nie dla dzisiejszego przeciętnego ucznia czy studenta.

Mariusz: Tak ale jeśli ktoś wcześniej nie opisze danego tematu to samemu niczego się nie znajdzie a żywy człowiek może odpowiedzieć na pytania czy sprawdzić zadanie Jeśli takiego nauczyciela nie mamy bądź nikt nie opisze danego tematu to jesteśmy skazani na "odkrywanie koła na nowo" co może nam zająć całe życie Jeżeli chodzi o książki to można w nich znaleźć tylko to co zostało wcześniej zapisane a co jeśli mimo przeczytania takowej mamy jeszcze jakieś wątpliwości co do opisywanego tematu Co do pasjonatów to wątpię aby potrzebowali jego pomocy Czyli potwierdzasz moje spostrzeżenie że nie umie on wytłumaczyć uczniowi w sposób zrozumiały danego tematu

ABC: zgadzam się z tobą że dobry żywy nauczyciel jest lepszy od książki bo można mu zadać dowolne pytanie a autor napisał raz i już nie może zmienić treści , ale mimo wszystko pamiętam sam z młodości dobre podręczniki, te pisane w starym stylu, dokładnie z wyjaśnieniami, jak na przykład analiza Sierpińskiego pozwalają ci zrobić duży krok naprzód. Oglądając rozwiązania Adama to on rzadko stara się tłumaczyć, jak mówię to jest bardziej dla pasjonatów typu "natychmiast widzimy że" a dlaczego widzimy to już inna historia

jc: Cóż, myślę, że do różnych ludzi trafiają różne podręczniki. Właśnie kilka dni temu dostałem analizę Sierpińskiego, choć być może nie tą, o której piszesz. Książka zupełnie mi się nie podoba. Co do tłumaczenia, nie wszyscy lubią, jak im się tłumaczy. Jak wskazówka czy krótka odpowiedź nie wystarczy, to przecież można pytać. Akurat styl Adamma cenie najbardziej.

ABC: ja mam na myśli przedwojenne wydanie z 1923 roku , około 1000 stron z którego się uczyłem jako młody student bo tanio znalazłem w antykwariacie,tak jak mówię dla fachowców styl Adama nie jest zły.

jc: Spojrzałem na tytuł. To rachunek różniczkowy z 1947.

ABC: to pewnie okrojona wersja powojenna, mój ma tytuł "Analiza" i jest wszystko od Adama i Ewy tam wyprowadzone

jc: Spytałem − podręcznik składał się z kilku części lub w drugim wydaniu podzielona na części − to chyba trzecia część. Pewnie ta sama książka.

ABC: wcale zresztą się nie dziwię że ci się nie podoba, bo z tego co pamiętam bardzo podoba ci się Rudin który dla mnie jest zbyt lakoniczny w stylu

Mariusz: Jeśli chodzi o równania różniczkowe niejednorodne to jak się wam podoba ta metoda ? http://www-users.mat.uni.torun.pl/~much/RR/REKUR_2_liniowe_13xi2006.pdf Jaką metodę polecilibyście do potęgowania macierzy ? Potęgowanie macierzy może być przydatne do rozwiązania równania jednorodnego

Mila: Mariuszu, przestań tu robić "polskie piekło'. Zostaw swoje opinie ( pochopne zresztą) o talentach pedagogicznych dla siebie

Mariusz: Ta pochopne ... Dziwne że ABC też zauważył to co ja Cytat z wpisu ABC "A co sposobu rozwiązywania zadań przez Adama, to moim zdaniem czasem zamieszcza bardzo ciekawe sposoby rozwiązań, ale jest skąpy w komentarzach" "...nie dla dzisiejszego przeciętnego ucznia czy studenta." a przecież w szkole większość to przeciętni uczniowie

Mila: Mogę mieć swoją opinię? Nie podoba mi się takie ocenianie osób pomagających, to jest tak, jakby nauczyciel w szkole wygłaszał negatywne oceny o swoich kolegach na forum klasy.

ABC: Mila, a w mojej szkole koleżanki obgadywały mnie za plecami że za dobre oceny stawiam Ja mogę mieć wypaczone spojrzenie bo większość swego życia zawodowego przepracowałem z uczniem przeciętnie zdolnym i mało zdolnym, z olimpijczykami niewiele.