wymierność liczb maths: Wyznacz wszystkie liczby 𝑥, dla których liczby 𝑥+√3 oraz 𝑥²+√3 są wymierne.

Blee: x + √3 wymierne oraz x² + √3 wymierne Tak

maths: Tak

ABC: Olimpiada Matematyczna Gimnazjalna 2012 bodajże

maths: Dzięki

Adamm: x+√3, x²+√3∊Q x²−x∊Q x²−x+a = 0 dla pewnego a∊Q

	1
więc x =		±√b, b∊Q+
	2

±√b+√3 jest wymierne ⇒ √3b jest wymierne ⇔ 3b jest kwadratem ⇔ b = 3p² dla p∊Q₊ √b+√3 = √3(1+p) nie może być wymierne −√b+√3 = √3(1−p) skąd p = 1

	1
zatem x =		−√3
	2

ABC: organizatorzy Olimpiady proponują coś w tym stylu: niech x+√3=p, x²+√3=q gdzie p, q wymierne wtedy x=p−√3 , q=(p−√3)²+√3=

ABC: =(p²−2p√3+3)+√3=(1−2p)√3+p²+3 stąd (1−2p)√3=q−p²−3 gdyby (1−2p)≠0 to √3 wymierny więc sprzeczność

	1		1
czyli konieczne jest 1−2p=0 , p=		, x=		−√3
	2		2

i teraz bezpośrednio sprawdzamy że jedyny kandydat spełnia to chyba dla małolatów łatwiejszy do ogarnięcia sposób

a@b: http://www.deltami.edu.pl/klasyfikacja/matematyka/obiekty/liczby/liczby_wymierne/zadania/ VII Olimpiada Gim.

ABC: