dowodzenie licealistka:

	4
wykaż, że jesli a>0, to a +		≥4
	a

Przeprowadź dwa dowody: wprost i nie wprost

Saizou : skorzystaj z nierówności między średnią arytemtyczną a geometryczną dla dwóch liczb dodatnich

a+b
	≥√ab
2

kcmJ:

	4
a+		≥4 /*a
	a

a²+4≥4a /−4a a²−4a+4≥0 (a−2)²≥0 => zawsze ≥ 0. Tak można? To chyba jest wprost? A nie wprost, to nie wiem, ale chętnie zobaczę jeśli ktoś napisze.

Saizou : Bardzo podobnie. Przypuśćmy, że teza jest fałszywa, tzn.

	4
a+		<4
	a

a²−4a+4<0 (a−2)²<0

	4
sprzeczność, zatem prawdziwa jest nierówność a+		≥4
	a

kcmJ: Dziękuję.

PW: kcmJ, niestety Twoje rozważanie z 13:06 jest obciążone popularnym błędem logicznym. Przyjąłeś, że

	4
a +		≥ 4,
	a

czyli wyszedłeś od zdania, które miałeś udowodnić. To, że wynika z tego zdanie prawdziwe (a−2)² ≥ 0, nic nie mówi o prawdziwości zdania, od którego wyszedłeś. Mówiąc po chłopsku − prawda może wynikać z fałszu (patrz tebelka wartości logicznych implikacji). Brakuje w Twoim rozważaniu stwierdzenia, że kolejne nierówności są równoważne (mają tę samą wartość logiczną).

kcmJ: "Brakuje w Twoim rozważaniu stwierdzenia, że kolejne nierówności są równoważne (mają tę samą wartość logiczną)" Rozumiem implikacja 0,1=>1 chodzi o ten przypadek. Błąd jest w tym, że mnożąc przez a nie uzasadniłem, że nie zmieniam znaku, gdyż mnożę przez liczbę >0, bo a>0 z zał.?

Saizou : Chodzi o brak komentarza że wykonujesz przekształcenia równoważne

kcmJ: Pewnie strasznie głupie pytanie, ale jak ten komentarz wygląda? 1. tekst: "Wykonuję przekształcenia równoważne"? 2. ten znaczek ⇔?

kcmJ: "PW: Ano błąd logiczny, o którym z uporem maniaka i bez rezultatu od dawna piszę. Wyszedłeś od tezy i doszedłeś w wyniku poprawnych wnioskowań do zdania prawdziwego. Niestety nic to nie mówi o wartości logicznej tezy. Prawda może wynikać również z fałszu. Dowód byłby poprawny, gdybyś napisał, że wszystkie kolejne nierówności są równoważne, ale tego nie zrobiłeś. Bez takiego komentarza przyjmuje się, że każdy kolejny napis wynika z poprzedniego. Dlatego dobrym sposobem jest pisanie wynikań, ale "od tyłu", jak to oceniłeś." Bardzo, to ciekawe. Nie myślałem, żeby jakaś nierówność wyżej może nie równać się tej niżej. Ale implikacja tak, to pokazuje. Albo załóżmy, że mamy x² i podstawiamy (−1)²=1, wtedy w 2 stronę już nie musi być równoważne. Czyli ogólnie mógłbym też zacząć od (a−2)²≥0 i dojść do tezy, lub komentarz "Wykonuję przekształcenia równoważne", bo znaczek nie jestem pewny.

kcmJ: Dziękuję za lekcje.

salamandra: Z tymi przekształceniami równoważnymi to chodzi o to, żeby sprawdzający wiedział, że z tej postaci (a−2)²≥0, można doprowadzić do postaci postawionej w tezie, ale to z tej (a−2)²≥0 wynika stricte, że teza jest prawdziwa?

kcmJ: Dziękuję.

ite: salamandra to, że teza jest prawdziwa, wynika z tego, że założenie (nierówność (a−2)²≥0 (o której już wiemy, że jest prawdziwa) możemy przekształcić do postaci takiej jak teza założenie ⇒ teza . A ponieważ kierunek pokazywanych zmian jest u nas "pod prąd", to zamiast implikacji (⇒) musimy wykazać, że zachodzi równoważność założenie ⇔ teza czyli implikacja w obie strony (założenie ⇒ teza ∧ teza ⇒ założenie). Sprawdzający musi być poinformowany, co i dlaczego przekształcamy, ale głównym celem tych działań jest zbudowanie poprawnego dowodu.