dowodzenie licealistka: wykaż, że jesli x+y=4, to x² + y² ≥8. Przeprowadź dwa dowody: wprost i nie wprost

Saizou : Dowód wprost Skorzystajmy z nierówności między średnią kwadratową a arytmetyczną, tzn.

x2+y2		x+y
	≥
2		2

	x+y
x2+y2≥(		)2*2
	2

	4
x2+y2≥(		)2*2=22*2=8
	2

ite: Czy wiesz na czym polega dowód nie wprost?

PW: Jak dla licealistki to powinien być bardziej zrozumiały dowód: Jeżeli x + y = 4, czyli y = 4 − x, zatem x² + y² = x² + (4−x)² = 2x² − 8x + 16 Funkcja kwadratowa f(x) = 2x² − 8x + 16

	−Δ		−(64 − 4•2•16)		64
osiąga minimum i jest ono równe		=		=		= 8,
	4•2		8		8

co należało wykazać.

jc: 16=(x+y)² ≤ (x+y)² + (x−y)² = 2(x²+y²) 8 ≤ x²+y²

PW: jc, Twój dowód jest piękny, i warto takie rzeczy pokazywać, ale moi uczniowie mawiali przy takich okazjach: − A niby skąd ja miałbym być taki mądry?

licealistka: Dziękuję za pomoc, tylko drogi/a PW licealistka ze mnie po 8kl. SP, jeszcze nie wiem co to funkcja kwadratowa. Trudno rozszyfrować ten dowód nie wprost

PW: Rozumiem, że żadna z udzielonych odpowiedzi nie jest dla Ciebie zrozumiała?

Saizou : Jeszcze pytanie czy miałaś elementy logiki na matematyce? Inaczej to się mija trochę z celem przeprowadzanie dowodu nie wprost

licealistka: Dowody wprost są OK, zwłaszcza ten od "jc" Tylko co z dowodem Nie Wprost?

ABC: to nie wnikając co to jest funkcja kwadratowa, wzory skróconego mnożenia wystarczą : 2x²−8x+16=2(x²−4x+4)+8=2(x−2)²+8

PW: A tak? 2x² − 8x + 16 = 2(x²−4x+4) + 8 = 2(x−2)² + 8 − widać, że najmniejszą wartością tego wyrażenia jest 8.

jc: x²+y² to kwadrat odległości od (0,0). Chyba jest jasne, który na prostej leży najbliżej (0,0). To punkt (2,2). Kwadrat odległości (2,2) od (0,0) równy jest 2²+2²=8

ite: Dowód nie wprost nie jest tutaj bardzo skomplikowany. Do założenia x+y=4 dodajemy zaprzeczenie tezy x² + y²<8. Pokazanie, że układ równań

⎧	x+y=4
⎩	x2 + y2<8

jest sprzeczny nie jest trudne.

ite: Widać, że dochodzimy do sprzeczności. Ale (jak już zapytał Saizou) czy mieliście na lekcjach wyjaśnioną ideę dowodu nie wprost?

licealistka: Dowód nie wprost tak, ale nie miałam układów równań

PW: Im głębiej w las, tym więcej drzew

licealistka:

ite: Niestety, nie znam programu szkoły średniej po ośmioklasowej podstawówce, więc nie wiem, co już umiecie. Mogę tylko wyjaśnić, że z pierwszego równania trzeba wyliczyć y=4−x, podnieść do kwadratu i wstawić do równana drugiego zamiast y². Ale dalej rozwiązywanie równań kwadratowych się przyda. Innego pomysłu na "nie wprost" nie mam.

a@b:

ite: Rysunek bardzo ładnie oddaje narastające zagęszczenie drzewostanu iglastego w obserwowanych obszarze (zielone poziome linie)!

ABC: w programie liceum 4 letniego po 8−klasowej podstawówce są układy równań w 1 klasie

ite: A dowody nie wprost też są? I podstawy logiki?

ABC: podstawy logiki niestety leżą i kwiczą, są fakultatywne na rozszerzeniu, ogólnie dowodzenie leży i kwiczy poza szkołami typu "łowcy talentów" jak Staszic w Wwie

licealistka: Oczywiście układy równań są w pierwszej klasie liceum, ale póki co jestem tam dopiero 5 miesięcy i nie miałam okazji zapoznać się z wszystkim co należy zrobić w klasie pierwszej