Zadania maturalne Saizou : Cześć, postanowiłem że co jakiś czas będę wrzucać zadania przygotowujące do matury na poziomie rozszerzonym, chętnych licealistów/techników zapraszam do rozwiązywania a osoby pomagające proszę o udzielanie wskazówek lub podanie pomysłu, ale nie gotowca (to w sytuacji, gdy ktoś już na prawdę nie będzie wiedział co i jak). Zaczynamy od działu: Liczby, zbiory i wartość bezwzględna. Zad 1

	2x		y
Wykaż, że dla x>0 i y>0 zachodzi nierówność		+		≥ 0.
	y		2x

Zad 2 Uzasadnij, że suma pięciu kolejnych liczb podzielnych przez 3 jest podzielna przez 15. Zad 3 Wyznacz wszystkie pary liczb całkowitych a i b, dla których a²−b²=15 Zad 4 Rozwiąż równanie |2x+2|+3x=|x|+2 Zad 5 Rozwiąż nierówność |x+5|−|x−2|≤3 Zad 6 Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór rozwiązań nierówności |y| ≤ |x−1| Zad 7 Wykaż, że liczba ³√√5+2−³√√5−2 jest całkowita Zad 8 Uzasadnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych x i y prawdziwa jest nierówność (x+1)(x+2)+(y+1)(y+2)+1≥(x+2)(y+2) Zad 9 Dane jest równanie |mx|+|m|=4, w którym x jest niewiadomą. a) rozwiąż równanie dla m=2 b) Dla jakich wartości parametru m równanie ma rozwiązanie. Zad 10 Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej k liczba (k³+k²)(k²+3k+2)(k+2) jest podzielna przez 36 Na razie tyle

a@b:

Saizou : Eta nudzi mi się więc postanowiłem coś porobić produktywnego

a@b: Bardzo dobry pomysł

Saizou : Ciekawe czy ktoś się skusi

salamandra: Dzięki, na pewno się podejmę

Saizou : To czekamy na rozwiązania

a@b: Czasy kiedy Godzio, ICSP ,Saizou, bezendu. Metis, Blue, Kejt,kyrtap , Metis i inni ....oraz nawet tacy, jak macio . pilnie tu na forum przygotowywali się do matury (z naszą pomocą ) bezpowrotnie minęły ! ( a szkoda

salamandra: zad1.

2x		y
	+		≥ 0 / *y (y>0) więc nie zmieniam znaku nierówności, przekształcenie jest
y		2x

równoważne

	y2
2x+		≥ 0 / *2x (tak samo jak wyżej)
	2x

4x²+y² ≥ 0 Przekształciłem równoważnie nierówność, a wniosek z ostatniej linijki jest taki, że suma dwóch dodatnich składników jest zawsze dodatnia, c.n.u

a@b: ..."jest zawsze dodatnia"? czy zawsze ....

Saizou : To prawda Twoje rozumowanie w tym przykładzie jest słuszne źle przepisałem, miało być

2x		y
	+		≥ 2
y		2x

a@b: @salamandra czy zero jest dodatnie ?

salamandra: Liczby podzielne przez 3 określam wzorem 3n, gdzie n∊ C/N (mam dylemat) kolejne: (3n, 2*3n, 3*3n, 4*3n, 5*3n) 3n+6n+9n+12n+15n = 45n 45n jest podzielne przez 15., ponieważ 45/15 = 3, więc n nas nie ogranicza.

salamandra: @a@b Ale x i y > 0, więc zero nie wchodzi w grę?

Szkolniak: To może ja zacznę

	2x
Z1) x,y>0 i niech a=		>0
	y

	1
a+		≥2 /*a
	a

a²+1≥2a, bo a>0 a²−2a+1≥0 (a−1)²≥0 Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, zatem powyższa nierówność jest zawsze spełniona.

Saizou : źle, to nie są kolejne liczby podzielne przez 3 np. dla n = 2 mamy 6, 12, 18 ... musisz to inaczej zapisać Co do n, to jest całkowite.

a@b: Kolejne liczby podzielne przez 3: 3n−6, 3n−3,3n, 3n+3, 3n+6,........

salamandra: czy jest jakiś ogólny wzór na kolejne liczby podzielne przez n? Czy trzeba to po prostu wydedukować?

salamandra: w takim razie 3n−6+3n−3+3n+3n+3+3n+6 = 15n = 15*n <− jest podzielne przez 15, o to chodziło?

Saizou : Jest, ale po co? Lepiej dedukować. np. kolejne liczby podzielne przez 7, to 7k, 7k+7, 7k+14 itd. trzy kolejne liczby, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 2 to 5k+2, 5k+7, 5k+12

salamandra: Aha, czyli idąc moim "wzorem" to po prostu powinienem był zapisać 3n, 3n+3 itd?

Saizou : Zad. 2 Szkolniak + komentarz o przekształceniach równoważnych i będzie super

albi: Ciężko tu mówić o wzorze ogólnym, po prostu odległość kolejnych liczby podzielnych przez jakąś liczbę to ta liczba

Saizou : salamandra tak. spróbuj dla siebie to zrobić z liczbami 3n, 3n+3, itd.

salamandra: 3n+3n+3+3n+6+3n+9+3n+12 = 15n+30 = 15(n+2) <− podzielne przez 15

Saizou : super

salamandra: Trzeciego przyznam, że w ogóle nie potrafie zacząć

Saizou : zastosuj wzór x²−y²=(x−y)(x+y) i teraz rozłóż 15 na iloczyn dwóch liczb i zrób odpowiednie układy równań

Jerzy: (a + b)(a − b) = 15 , teraz rozpatruj możliwości.

salamandra: no właśnie jedyne co zrobiłem to rozłożyłem na (a−b)(a+b) Czyli (a−b)(a+b) = 3*5 ⇔ a−b = 3 ⋀ a+b = 5? I potem brać inne pary? np. 5*3, 1*15, 15*1?

a@b: Jeszcze: (−1)*(−15)=(−3)*(−5)

Jerzy: Pamiętaj o ujemnych czynnikach.

Saizou : Tak, pamiętając, że mogą być też wersje z minusami

Jerzy: Tutaj kolejność czynników też ma znaczenie.

salamandra: Wiem, dlatego wypisałem też 5*3

Szkolniak: Zadanie 4) |2x+2|+3x=|x|+2 2|x+1|+3x=|x|+2 1° x∊D₁=(−∞;−1)⇒(|x+1|=−x−1 ∧ |x|=−x) −2(x+1)+3x=−x+2 ∧ x∊D₁ −2x−2+3x=−x+2 2x=4 x=2∉D₁ v2° x∊D₂=<−1;0)⇒(|x+1|=x+1 ∧ |x|=−x) 2x+2+3x=−x+2 ∧ x∊D₂ 6x=0 x=0∉D₂ v3° x∊D₃=<0;+∞)⇒(|x+1|=x+1 ∧ |x|=x) 2x+2+3x=x+2 ∧ x∊D₃ 4x=0 x=0∊D₃ Zatem jedynym rozwiązaniem jest liczba 0.

Saizou : Dobrze

Szkolniak: Dobra, jeszcze 9−te i starczy |mx|+|m|=4 ad a m=2 ⇒ |2x|+2=4 2|x|=2 |x|=1 x=−1 v x=1 x∊{−1,1} ad b |mx|+|m|=4 |m|*|x|+|m|=4 |m|(|x|+1)=4

	4
|x|=		−1
	|m|

	4
Równanie to ma rozwiązanie wtedy, gdy		−1≥0:
	|m|

	4
		−1≥0 ∧ m∊D=R\{0}
	|m|

	4
		≥1 /*|m|
	|m|

4≥|m|, bo ⋀(|m|>0) m∊D |m|≤4 m∊<−4;4> ∧ m∊D m∊<−4;0)∪(0;4>

salamandra: zad3. 1) (a−b)(a+b) = 3*5 a−b=3 a+b = 5 a= 3+b 3+b+b = 5 2=2b b=1 a= 4, b = 1 ======== 2) (a−b)(a+b) = 5*3 a−b=5 a+b = 3 a= 5+b 5+b+b = 3 −2=2b b=−1 a= 4, b = −1 ======== 3) (a−b)(a+b) = −5*(−3) a−b=−5 a+b = −3 a= −5+b −5+b+b = −3 2=2b b=1 a= −5, b = 1 ======== 4) (a−b)(a+b) = −3*(−5) a−b=−3 a+b = −5 a= −3+b −3+b+b = −5 −2=2b b=−1 a= −4, b = −1 ======== 5) (a−b)(a+b) = 1*15 a−b=1 a+b = 15 a= 1+b 1+b+b = 15 14=2b b=7 a= 8, b = 7 ======== 6) (a−b)(a+b) = 15*1 a−b=15 a+b = 1 a= 15+b 15+b+b =1 −14=2b b=−7 a= 8, b = −7 ======== 7) (a−b)(a+b) = −1*(−15) a−b=−1 a+b = −15 a= −1+b −1+b+b = −15 −14=2b b=−7 a= −8, b = −7 ======== 8) (a−b)(a+b) = −15*(−1) a−b=−15 a+b = −1 a= −15+b −15+b+b = −1 14=2b b=7 a= −8, b = 7 ========

Saizou : bardzo dobrze

Saizou : w 3) układzie masz błąd rachunkowy, ale reszta jest okej

salamandra: a=−4 fakt+

salamandra: 4. 1. x∊ <−∞; −1) −(2x+2)+3x = −x+2 −2x−2+3x+x−2 = 0 2x= 4 x = 2 2. x∊ <−1; 0) 2x+2+3x= −x+2 6x =0 x=0 3. x∊ <0; ∞) 2x+2+3x=x+2 5x+2 = x+2 x= 0

Saizou : Czyli jaka jest odpowiedź w 4? Bo nigdzie nie uwzględniłeś przedziałów, w których zostały rozwiązywane równania

salamandra: No tak, ostatni raz z takimi równaniami miałem do czynienia 3 lata temu (w 1 klasie), wyszedłem z wprawy w 1. przedziale x nie nalezy do dziedziny. w 2 również, gdyż przedział otwarty. więc x=0 to rozwiązanie., bo tylko w trzecim nalezy do przedziału.

salamandra: 5. 1. x∊ (−∞; −2) x+5−[−(x−2)] ≤ 3 x+5 − (−x+2) ≤ 3 2x+3 ≤ 3 2x ≤ 0 x ≤ 0 więc x∊(−∞; −2) 2. x∊ <−2; ∞) x+5−(x−2) ≤ 3 7≤3 x∊ ∅

Saizou : I teraz jest dobrze Warto pamiętać o takich rzeczach, żeby punkty na maturze nie leciały

salamandra: ups. zapomniałem jednego przedziału, sekunda

Saizou : W przedziale x∊(−∞, −2) nie określisz znaku wyrażenia |x−2|

salamandra: dlaczego?

salamandra: raczej |x+5|

Saizou : Nie to wyrażenie skopiowałem, miało być |x+5| dla x=−3 mamy |−3+5|=|2| a dla x=−10 mamy |−10+5|=|−5|

salamandra: oczywiście chodziło o (−∞; 2), nie wiem skąd wziąłem ten minus

salamandra: ale to też źle przedziały które badam to (−∞; −5) <−5; 2) <2; ∞)

Saizou : Tak, wiec napisz raz jeszcze rozwiązanie

salamandra: 1. x∊ (−∞; −5) −x−5−[−(x−2)] ≤ 3 −x−5−(−x+2) ≤ 3 −x−5+x−2 ≤ 3 −7≤3 x∊ R suma zbioru: x∊ (−∞; −5) 2. x∊ <−5; 2) x+5−[−(x−2)] ≤ 3 x+5+x−2 ≤ 3 2x+3 ≤ 3 x≤ 0 suma zbioru: x∊ <−5;0> 3. x∊ <2; ∞) x+5−(x−2) ≤ 3 7≤ 3 x∊∅ I teraz nie wiem, jak zsumować te zbiory, w sensie, czy wziąć (−∞; 0>, czy brak rozwiązania− czy jest to LUB to, czy musi być to ORAZ to.

Saizou : Po 1) nie możesz pisać suma zbiorów przy przypadkach, gdy sprawdzasz czy rozwiązanie należy do przedziału − jest to iloczyn przedziałów. Po 2) na końcu bierzesz sumę, bo rozbiłeś wszystkie liczby rzeczywiste na przypadki, i teraz musisz to poskładać. (gdybyś brał iloczyn, to masz iloczyn zbioru pustego z czymkolwiek, to jest to zbiór pusty)

Szkolniak: W poszczególnych przypadkach wyciągasz część wspólną twojej nierówności i dziedziny w danym przypadku. Natomiast na sam koniec sumujesz przedziały ze wszystkich przypadków

salamandra: Nie wiedziałem jak to ubrać w słowa, po prostu w tej mojej "sumie" uwzględniałem jeszcze dziedzinę, czyli na końcu "dodaję" te przedziały, czyli biorę (−∞; −5) oraz <−5;0> i z tego wychodzi x∊ <−∞; 0>?

Szkolniak: Tak

Saizou : Tak

Szkolniak: Jak już salamandra tak leci to pomogę i z kolejnym 8) x,y∊R ∧ x≠y Przekształcam równoważnie daną nierówność: (x+1)(x+2)+(y+1)(y+2)+1≥(x+2)(y+2) x²+3x+2+y²+3y+2+1≥xy+2x+2y+4 x²+3x+y²+3y≥xy+2x+2y x²+x+y²+y−xy≥0 /*2 2x²−2xy+2y²+2x+2y≥0 x²−2xy+y²+x²+2x+y²+2y≥0 (x−y)²+(x+1)²+(y+1)²≥2 x−y≥0 x+1≥1 y+1≥1 zatem suma ich kwadratów jest na pewno większa lub równa 2, cnw. Jest okej?

salamandra: Następnego nie wiem jak zacząć

Szkolniak: salamandra, musisz rozpatrzeć cztery przypadki: 1) y≥0 ∧ x−1≥0 2) y≥0 ∧ x−1<0 3) y<0 ∧ x−1≥0 4) y<0 ∧ x−1<0 narysuj układ współrzędnych i dla każdego przypadku rozwiąż graficznie w odpowiednich przedziałach nierówność liniową

Saizou : Szkolniaku zgubiłeś 1 w upraszczaniu wyrażeń w 3 linijce samanadra zobacz jak to będzie wyglądać dla y≥0 i dla y<0 (będą to funkcje 'liniowe' z wartością bezwzględną)

Szkolniak: 8) poprawka* (x+1)(x+2)+(y+1)(y+2)+1≥(x+2)(y+2) x²+3x+2+y²+3y+2+1≥xy+2x+2y+4 x²+3x+y²+3y+1≥xy+2x+2y x²+x+y²+y+1−xy≥0 /*2 2x²−2xy+2y²+2x+2y+2≥0 (x−y)²+(x+1)²+(y+1)²≥0 teraz okej

Saizou : + komentarz dlaczego składniki są nieujemne

salamandra: Funkcje liniowe, ale o jakim równaniu, po prostu y?

Szkolniak: Tak, w dwóch przypadkach wyjdzie ci po lewej stronie −y, wtedy mnożysz nierówność przez (−1)

salamandra: założmy biorę 4−ty przypadek y< 0 ⋀ x−1 < 0 −y ≤ −x+1 / * (−1) y ≥ −x−1 i po prostu rozwiązaniem będzie to co "nad" prostą x−1?

Saizou : Tak

salamandra: Da się "niegraficznie" taki przedział określić?

Saizou : Da się, ale nic bardziej przejrzystego niż y≥−x−1 nie wymyślisz Można to tak zapisać A = {(x,y)∊R²: |y| ≤ |x−1|} ale to raczej za dużo ci nie mówi

Szkolniak: Zadanie7 ³√√5+2−³√√5−2=x, x>0 x=³√√5+2−³√√5−2 /³ x³=√5+2−3³√(√5+2)²(√5−2)+3³√(√5+2)(√5−2)²−√5+2 x³=4−3³√√5+2+3³√√5−2 x³=4−3(³√√5+2−³√√5−2) x³=4−3x x³+3x−4=0 x³−x+4x−4=0 x(x²−1)+4(x−1)=0 x(x+1)(x−1)+4(x−1)=0 (x−1)[x(x+1)+4]=0 (x−1)(x²+x+4)=0 /:(x²+x+4) x−1=0, bo ⋀(x²+x+4>0) x∊R x=1∊C, cnw.

a@b: Zad.7

	1+√5		1−√5
(		)3= √5+2 , (		)3=√5−2
	2		2

i mamy

	√5+1		√5−1
L=		−		=....1
	2		2

Saizou : można tak, albo zauważyć wzór skróconego mnożenia √5+2=.... kombinujcie

a@b:

Saizou : Zostało 10 oraz 6 do zrobienia

a@b: zad10 Da się "zwinąć " ............ L=[k(k+1)(k+2)]² = 36u ,u∊N i oczywiście komentarz................

Szkolniak: Zadanie 10 (k³+k²)(k²+3k+2)(k+2)=k²(k+1)(k+2)(k+1)(k+2)=k²(k+1)²(k+2)²=[k(k+1)(k+2)]² są to trzy kolejne liczby naturalne, zatem są one na pewno podzielne przez 2 i przez 3,z czego wynika, że na pewno są podzielne przez 6, a całość podniesiona jest do kwadratu, więc tym samym wyrażenie jest podzielne przez 36, cnw.

Saizou : bardzo ładnie

a@b: dla Szkolniak

salamandra: zad 6. |y| ≤ |x−1| 1) y ≥ 0 i x−1 ≥ 0 y≤ x−1 (rysuje prostą o równaniu x−1 i zaznaczam to co poniżej prostej) 2) y≥0 i x−1 < 0 y ≤ −x+1 (rysuje prostą o równaniu −x+1 i zaznaczam to co poniżej prostej) 3) y<0 i x−1 ≥ 0 −y ≤ x−1 y ≥ −x+1 (rysuje prostą o równaniu −x+1 i zaznaczam to co nad prostą) 4) y<0 i x−1 < 0 −y ≤ −x+1 y≥ x−1 (rysuje prostą o równaniu x−1 i zaznaczam to co nad prostą)

Szkolniak: Lekko nabazgrane, jest okej?

Saizou : Jeszcze pytanie: czy proste należą do tego zbioru? Tak lub nie i dlaczego

salamandra: W zadaniu 7 dwójka jest pod pierwiastkiem kwadratowym, czy tylko pod pierwiastkiem trzeciego stopnia?

salamandra: Należą, bo jest ≥ lub ≤

Saizou : pod pierwiastkiem 3 stopnia jest wyrażenie √5+/−2 i odpowiedź na pytanie: gratuluję, bardzo dobrze

salamandra: Zad 7. wysyłam zdjęcie, bo długo zajęłoby mi przepisywanie: https://i.imgur.com/gZuSN9U.jpg

Saizou : Jest okej, tylko nazwij jeszcze po drodze co to jest w(c) i będzie bardzo poprawnie

salamandra: zad 8. x²+2x+x+2+y²+2y+y+2+1≥xy+2x+2y+4 x²−xy+y²+3x+2+3y+3 ≥ 2x+2y+4 / *2 2x²−2xy+2y²+6x+4+6y+6 ≥ 4x+4y+8 x²−2xy+y²+x²+y²+6x+4+6y+6≥ 4x+4xy+8 (x−y)² + x²+6x+6 + y²+6y+4−4x−4y−8≥0 (x−y)²+x²+2x+6+y²+2y+4−8≥0 (x−y)²+(x+1)²+5+y²+2y+4−8≥0 (x−y)²+(x+1)²+5+y²+2y+4−8≥0 (x−y)²+(x+1)²+y²+2y+1 ≥ 0 (x−y)²+(x+1)²+(y+1)² ≥ 0 suma trzech nieujemnych czynników będzie zawsze nieujemna, oraz wszystkie przekształcenia są równoważne c.n.u

Saizou : komentarz jest zły, x−y∊R, ale (x−y)²≥0 x+1∊R, ale (x+1)²≥0 y+1∊R, ale (y+1)²≥0 ==================+ (x−y)²+(x+1)²+(y+1)² ≥ 0 komentarz: suma trzech wyrażeń nieujemnych jest nieujemna

salamandra: 9b) nie bardzo wiem od czego zacząć, 9a) |2x|+2 = 4 |2x| = 2 x = 1 v x = −1

Saizou : Zad 11 Wykazać, że dla każdego m∊N⁺ liczba postaci

	3m−5
		(m3−3m2+2m)
	12

jest liczbą całkowitą Zad 12 Wykaż, że liczba postaci

	n4		n3		n2
		+		+
	4		2		4

gdy n∊N jest kwadratem liczby naturalnej Zad 13 Liczby naturalne dodatnie a, b, c, d spełniają warunek ³√abc=4 oraz ⁴√abcd=2√10 oblicz wartość d Zad 14 Liczbę sześciocyfrową utworzono przez zapisanie obok siebie dwa razy tej samej liczby trzycyfrowej. Wykaż, że otrzymana w ten sposób liczba jest podzielna przez 13. Zad 15 Wykaż, że każda liczba pierwsza większa od 3, jest postaci 6n+1 lub 6n+5, gdzie n∊N. Zad 16 Wykaż, że jeżeli liczba naturalne n jest podzielna przez 3 i nie jest podzielna przez 6, to liczba postaci n²+7 jest podzielna przez 8

a@b: Zobacz wpis Szkolniaka 16:57

salamandra: Nie wiem właśnie dlaczego pomnożył/podzielił przez |m| skoro |m| może być zerem? wnioskuję, że stąd otrzymał |x|, a 1 przeniósł na drugą stronę

a@b: załóż,że m≠0

a@b: bo dla m=0 równanie sprzeczne

salamandra: i dlatego założenie ≥ 0, bo |x| musi być ≥ 0?

salamandra: |m|*|x|+|m| = 4 m≠0 |m|(|x|+1) = 4 / ( : |m| )

	4
|x|+1 =
	|m|

	4
|x| =		− 1
	|m

4
	− 1 ≥ 0
|m|

1) m≥0

4
	−1 ≥ 0
m

4−m
	≥ 0
m

(4−m)m≥ 0 (4−m)m = 0 m= 4 v m = 0 m∊(0; 4>, bo zero wyrzucone z dziedziny 2) m<0

4
	−1≥0
−m

4+m
	≥ 0
−m

(4+m)(−m)≥0 (4+m)(−m) = 0 m = −4 v m = 0 m∊ (−4;0) suma: m∊ (−4;0) u (0;4>

salamandra: W 11 podobna zabawa jak w 7, czy zupełnie inaczej trzeba zacząć?

Saizou : W 11 należy pokazać że licznik jest podzielny przez 12

salamandra: Napisałeś, aby wykazać, że jest liczbą całkowitą

Saizou : 20:54 jest dobrze

Saizou : no tak, czyli musisz pokazać, że wyrażenie (3m−5)(m³−3m²+2m) jest podzielne przez 12

Mila: II sposób |m|*(|x|+1)=4 1) m=0 to mamy: 0*(|x|+1)=4⇔0=4 sprzeczność ⇔brak rozwiązań 2)m≠0

	4
|x|+1=
	|m|

g(x)=|x|+1

	4
Równanie g(x)=		posiada rozwiązanie
	|m|

	4
dla		≥1⇔
	|m|

4≥|m| m∊<−4,4>\{0}

salamandra: A dlaczego akurat podzielne przez 12?

Saizou : bo chcesz pozbyć się mianownika

salamandra: Nadal niestety nie rozumiem. Ja to zacząłem tak, że znów wziąłem jakieś "c"

	3m−5
i napisałem		(m3−3m2+2m) = c / *12
	12

i w ten sposób się pozbyłem mianownika

Saizou : czyli masz równanie 12c=(3m−5)(m³−3m²+2m), gdzie c jest całkowite czyli teraz musisz pokazać że prawa strona jest wielokrotnością liczby 12

ite: MEDAL DLA ZAŁOŻYCIELA TEGO WĄTKU ZA POPULARYZACJĘ ZADAŃ MATURALNYCH (w dni wolne od nauki szkolnej)

ite: I za szybki rozwój wątku !

Saizou : @ite dzięki, ale robię dokładnie to samo co Eta kilka lat temu

salamandra: jedyne co mi przyszło do głowy, to podstawić po m kolejne liczby naturalne i sprawdzić czy będzie podzielne przez 12, ale nie tędy pewnie droga, bo dla m=1 i m=2, wychodzi 0,

Saizou : Wszystkich licz i tak byś nie sprawdził 12=4*3 to jest podpowiedź

salamandra: (3m−5)m(m²−3m+2) = 4*3*c ? coś takiego?

Saizou : Nie, trzeba przedstawić lewa stronę w taki sposób, aby można z niej wywnioskować że jest ona podzielna przez 3 i 4

Eta:

salamandra: Wymnożenie mi nic nie da w sumie, bo będę miał postać 3m⁴−14m³+21m²−10m, chyba, że tę postać jakoś "zwinąć" inaczej?

Saizou : Te postać jeszcze możesz rozłożyć

salamandra: Mówisz o tej wyjściowej?

salamandra: Jeśli tak, to wiem, że ten drugi nawias mogę przedstawić w postaci m(m−1)(m−2), bo pierwiastkami tego drugiego nawiasu są: 0, 1 i 2 to miałbym (3m−5)m(m−1)(m−2), ale nadal mi to nic nie mówi

Saizou : 3m−5=3m−9+4=3(m−3)+4 ...= (3m−5)m(m−1)(m−2)= [3(m−3)+4]m(m−1)(m−2)= 3(m−3)(m−2)(m−1)+4(m−2)(m−1)m co możesz powiedzieć o każdym składniku tej sumy?

Saizou : poprawka 3(m−3)(m−2)(m−1)m+4(m−2)(m−1)m

Szkolniak: Zadanie 13 a,b,c,d∊N₊ ³√abc=4 /³ abc=64 ⁴√abcd=2√10 /⁴ abcd=1600

	1600
d=
	abc

	1600
d=
	64

d=25

a@b: 14/ xyzxyz 100100x+10010y+1001z=1001(..........) 1001=7*11*13

Szkolniak: Zadanie 12

n4		n3		n2		n4+2n3+n2		n2(n+1)2		n(n+1)
	+		+		=		=		=(		)2
4		2		4		4		22		2

Potrzebny do tego komentarz o podzielności licznika przez 2 ze względu na dwie kolejne liczby naturalne w liczniku?

Saizou : Zad 13 okej Zad 12 komentarz jest potrzebny Zad 14

salamandra: 22:16, skąd się wzięło m+4, a na końcu jeszcze m?

Saizou : Rozbijasz czynnik 3m−5=3m−9+4=3(m−3)+4 I teraz mnożysz wyrażenia ...= (3m−5)m(m−1)(m−2)= [ 3(m−3)+4]m(m−1)(m−2) niebieskie * zielone + czerwone * zielone

salamandra: to jak pomnoże 4 *m, to będę miał 4m, a nie 4+m?

salamandra: poprosiłem o pomoc nauczyciela, powiedział żeby z postaci (do której ja doprowadziłem), czyli (3m−5)m(m−1)(m−2) pokazać, że będzie liczba całkowita niezależnie od tego jakie m podstawie, bo mnoże przez siebie 4 liczby całkowite

Saizou : Kolejność wykonywania działań, najpierw nawiasy, potem mnożenie. Może Cię o mylić, bo zmieniłem kolejność czynników. Zapiszę to trochę inaczej Mam nadzieję, że to rozbicie rozumiesz 3m−5=3m−9+4=3(m−3)+4 wówczas mamy [3(m−3)+4]m(m−1)(m−2) = 3(m−3)m(m−1)(m−2)+4m(m−1)(m−2) porządkowałem to sobie, żeby mieć jakiś logiczny układ =3m(m−1)(m−2)(m−3)+4m(m−1)(m−2) 3m(m−1)(m−2)(m−3) Iloczyn 4 kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez 4 (3*4=12), stąd podzielność pierwszego składnika przez 12 4m(m−1)(m−2) iloczyn 3 kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez 3 (4*3=12), stąd podzielność drugiego składnika przez 12

salamandra: "3m(m−1)(m−2)(m−3) Iloczyn 4 kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez 4 (3*4=12), stąd podzielność pierwszego składnika przez 12 " Czy rzeczywiście są to cztery kolejne liczby całkowite? m= 2 6*1*0*(−1) m= 3 9*2*1*0 m = 4 12*3*2*1?

Saizou : dla m =2 masz m→2 m−1→1 m−2→0 m−3→−1 dla m =3 m→3 m−1→2 m−2→1 m−3→0 dla m = 4 m→4 m−1→3 m−2→2 m−3→1 itd.

salamandra: a 3m? co się dzieje z 3m?

Saizou : to jest rozbite 3*m(m−1)(m−2)(m−3) wyrażenia traktujemy jako te 4 kolejne liczby całkowite (te na czerwono)

salamandra: Aha, czyli z tego wniosek, że calosc będzie podzielna przez 12, i w drugim to samo tylko na odwrót. I czy to jest koniec zadania? Bo w zasadzie dlaczego trzeba uzasadniać podzielność przez 12? Czy tu chodzi o to, żeby udowodnić że po podzieleniu przez 12 wynikiem będzie liczba całkowita (bo dążę nie do 12c, tylko do c)?

Saizou : Tak,

Szkolniak: Odnośnie zadania 16−go: Czy jest jakiś sposób żeby wpaść na to jak zapisać tę liczbę? Czy wiedza na temat tego jak zapisywać liczby w takich zadaniach wynika po prostu z wyuczenia się 'na blachę'?

salamandra: Ja jeszcze w zasadzie mam pytanie odnośnie tego "feralnego" 11−tego (dla mnie): Skąd wynika, że iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez 4? da się to udowodnić?

ABC: jedna z tych liczb dzieli się przez 4 skoro są kolejne

Mila: Podpowiedź: 1) Liczby naturalne podzielne przez możesz zapisać : 3k, k∊N wśród nich są podzielne przez 6. 2) Liczby podzielne przez 6 możesz zapisać tak: 6m, m∊N Wszystkie są też podzielne przez 3, chodzi teraz o zapisanie liczby naturalnej tak, aby była podzielna przez 3 ale niepodzielna przez 6. Wypisuję 6 pewnych kolejnych liczb w taki sposób: 6m, 6m+1, 6m+2,6m+3, 6m+4, 6m+5 Który zapis pasuje do Twojego zadania?

Mila: Mój komentarz dla Szkolniaka.

salamandra: bo liczby podzielne przez 4 to 4n+4, gdzie n∊C?

Szkolniak: Wnioskuję że ta liczba to 6m+3, zgadza się?

a@b: ok

Szkolniak: Mogę dochodzić do postaci tych liczb podstawiajac sobie kolejno pod k czy m kolejne liczby naturalne i patrzeć co się dzieje? Czy nie powinienem tak robić ze względu na to że nie jestem w stanie sprawdzić co się dzieje ze wszystkimi takimi liczbami?

salamandra: Jak rozgryźć 14? Mało rozumiem z zapisu z 0:11 a@b Ja to zacząłem tak abcabc − sześciocyfrowa liczba, i to w sumie tyle

a@b: L=xyzxyz L=100 000x+10 000y+1 000z+100x+10y+z L=100100x+10010y+1001z= 1001(100x+10y+z) = 7*11*13(100x+10y+z) Czy teraz już jaśniej ?

salamandra: A dlaczego 100 000x?

a@b: Jak zapiszesz liczbę np: 600 000 ? 6*..... ?

salamandra: Czyli inaczej mówiąc jest to „rozbijanie” na części setek, jedności itp? Podobna sekwencja jak w przypadku zamiany ułamka dziesiętnego na zwykły stosując szereg geometryczny?

a@b: Liczba dwucyfrowa : 10x+y , gdzie, x∊{1,2,3,4,5,6,7,8,9,} , y∊{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} liczba trzycyfrowa : 100x+10y+z liczba sześciocyfrowa : 100 000x+10 000y+1 000z+100u+10w+v

salamandra: Już pojąłem, dzięki

a@b:

salamandra: Tym bardziej natomiast nie rozumiem 15−tego. Jedyne co wiem o liczbach pierwszych, to, że jedynymi dzielnikami jest 1 i owa liczba.

a@b: n>3 −− liczba pierwsza n=6k −− ma więcej niż dwa dzielniki ( nie jest pierwsza n=6k+1 −− może być pierwsza np dla k=1 n=7>3 n=6k+2 −− parzysta więc nie jest pierwszą >3 .............. dokończysz ?....

Łukasz: Dla n=6k+5 też będzie nieparzysta a 6k+5 to jest to samo co n= 6k−1....

salamandra: No te wzory są podane w zadaniu, ale nie wiem jak to wykazać, że n = 6k+3 − nieparzysta, ma więcej dzielników niż dwa n = 6k+4 − parzysta, więc nie jest pierwszą n = 6k+5 i tak do 6k+9?

Mila: Nie do 9 , bo następna liczba jest podzielna przez 6, a ten przypadek już jest ujęty wcześniej.

salamandra: która "następna"?

Mila: 6k+6=6*(k+1) więc podzielna przez 6

salamandra: znaczy, chciałem to zrobić w ten sposób, że pokazać właśnie, że 6k+6 − nie jest, 6k+7 − jest (to to samo co 6k+1), 6k+8− nie jest, 6k+9− nie jest. Powyżej 10 to wiadomo, że będzie się sekwencja powtarzać.

Mila: Saizou, piękne dałeś zadania, ale więcej tu nie pisz. Załóż nowy wątek.

Saizou : Właśnie myślałem żeby założyć nowy wątek, jutro wrzucę coś z funkcji kwadratowej z parametrem i wielomiany

vnec: Zobacz sobie algorytm sita erastotenesa na liczby pierwsze, zaczynasz od 5 bo 2 i 3 sa trywialne, potem masz 7 ( dodajesz 2) potem masz 11 ( dodajesz 4) i 13 ( dodajesz 2) i znowu 17 ( bo dodajesz 4 ) i tak dalej