dziedzinę, przeciwdziedzinę i wzór ogólny przekształenia
student: Dana jest macierzą przekształcenia liniowego L. Wyznacz dziedzinę, przeciwdziedzinę i
wzór ogólny L. Wyznacz bazy Ker L i Im L.
| | ⎧ | 0 1 0 1 −1 0 | |
| | ⎜ | 0 −2 0 −2 0 0 | |
| AL = | ⎨ | 1 1 0 1 0 1 |
|
| | ⎩ | 1 −1 0 −1 0 1 | |
6 sty 08:46
jc: Macierz składa się 6 kolumn o wysokości 5, opisuje więc przekształcenie z przestrzeni
6 wymiarowej w przestrzeń 5 wymiarową.
Obraz rozpięty jest przez kolumny.
0 1 0 1 −1 0
0 −2 0 −2 0 0
1 1 0 1 0 1
1 −1 0 −1 0 1
Pomijam powtórzone kolumny oraz kolumnę złożoną z samych zer.
0 1 −1
0 −2 0
1 1 0
1 −1 0
Pozostawione kolumny są liniowo niezależne i oczywiście rozpinają
taką samą przestrzeń, początkowe kolumny. Tworzą więc bazę obrazu.
Jądro to przestrzeń rozwiązań jednorodnego układu równań opisywanego
przez daną macierz.
Sprawdź, że każde rozwiązanie (x y z u v w) jest kombinacją liniową rozwiązań:
1 0 0 0 0 −1
0 1 0 −1 0 0
0 0 1 0 0 0
Rozwiązania te są liniowo niezależne i tworzą bazę jądra.
6 sty 09:16
student: Dzięki, ale odpowiadając na polecenie (dziedzina, przeciwdziedzina, wzór ogólny L) jak to się
zapisuje?
6 sty 09:21
jc: Określiłem dziedzinę i przeciwdziedzinę. Nie wiem, jakie masz ciało skalarów, ale
powinno mieć raczej charakterystykę ≠2.
Wzór ogólny? Umawiasz się, że
i masz przekształcenie liniowe.
6 sty 09:42
student: No miałem takie polecenie i pewnie by musiał podać jednoznaczną odp, a szczerze powiedziawszy
to jakoś w ogóle tego tematu nie czuję (czysta abstrakcja dla mnie)
6 sty 09:52
jc: O jakich przestrzeniach mówiliście? Rn ?
W takim razie L: R6 →R4 (oczywiście 4, nie 5, jak na początku zobaczyłem).
Czytamy: L przekształca R6 w R4.
Oznacza to, że dziedziną jest R6, a przeciwdziedziną R4.
6 sty 10:13
student: OK, tak myślałem − a wzór ogólny?
6 sty 10:29
jc: co to jest wzór ogólny przekształcenia liniowego?
6 sty 12:16
Adamm: wymyślają nazwy...
6 sty 13:43
Pytający:
Pewnie chodzi o zapis:
L(x1, x2, x3, x4, x5, x6) = (x2+x4−x5, −2x2−2x4, x1+x2+x4+x6, x1−x2−x4+x6)
6 sty 14:41
student: Też tak uważam
6 sty 14:44
student: Jeśli chodzi o dziedzinę to piszemy D= R4?
6 sty 14:52
student: Znaczy D = R
6
6 sty 14:53
student: Coś pogubiłem się w bazie jądra / obrazu poniższego − pomoże ktoś?
| | ⎧ | 1 0 1 4 0 2 | |
| | ⎜ | 0 0 0 2 0 −2 | |
| AL = | ⎨ | 1 0 1 0 0 0 |
|
| | ⎜ | 1 0 1 1 0 1 | |
| | ⎩ | 0 0 0 0 0 0 | |
6 sty 16:36
jc: Baza obrazu (3 kolumny):
1 4 2
0 2 −2
1 0 0
1 1 1
0 0 0
Baza jądra (3 kolumny):
0 0 1
1 0 0
0 0 −1
0 1 0
0 0 0
6 sty 16:51
student: Czy w jądrze w 3 kolumnie na pewno powinna być −1?
6 sty 17:09
jc:
Macierz
1 0 1 4 0 2
0 0 0 2 0 −2
1 0 1 0 0 0
1 0 1 1 0 1
0 0 0 0 0 0
Szukasz x,y,z,u,v,w takich, że
x+z+4u+2w=0
2u−2w=0
x+z=0
z+z+u+w=0
Rozwiązanie:
z=−x
w=u
(x,y,z,u,v,w)=x(1,0,−1,0,0,0) + y(0,1,0,0,0,0)+u(0,0,0,1,0,0)+v(0,0,0,0,1,0)
x,yu,w − dowolne parametry.
6 sty 17:35
X: Sam.koniec − u czy w to dowolny parametr?
I teraz nie będzie suma wymiarów jądra i obrazu = 7 a powinna być 6?
6 sty 19:03
student: v czy w to dowolny parametr*
6 sty 19:04
jc: x, y, u, v
6 sty 19:08
jc: Zwyczajnie rozwiązujesz układ równań.
6 sty 19:09
student: A jaki teraz jest wymiar jądra?
6 sty 19:09
jc: Poniżej poprawiłem błędy. wymiar jądra =3, wymiar obrazu =3,
wymiar jądra + wymiar obrazu = wymiar dziedziny (twierdzenie)
x+z+4u+2w=0
2u−2w=0
x+z=0
z+z+u+w=0
Rozwiązanie:
2u+w=0
u+w=0
x+z=0
x+z=0, u=w=0, x, y, v dowolne paramtry
(x,y,z,u,v,w)=x(1,0,−1,0,0,0)+y(0,1,0,0,0,0) + v(0,0,0,0,1,0)
6 sty 19:25
student: Dziękuję i przepraszam za dokładność, ale po prostu coś mi się nie zgadzało
6 sty 19:32
