Wzory viete'a (5st) Gaza: Witam,czy ktos napisze mi wzory Viete'a dla wielomianu 5 stopnia?

Adamm: https://pl.wikipedia.org/wiki/Wzory_Viète’a#Wzory_Viète’a

Gaza: oh tego szukalam

Gaza: w drugim wgl to ma byc rzad z x₃*x₄*x₃*x₅ ?

Adamm: bierzesz każdą kombinację 4 pierwiastków

Gaza: juz mam a jak rozwiazac ten uklad rownan. czy moze byc z wyznacznikow: tw.Cramera? tylko ze jak w tym przypadku stworzyc macierz 5X5?

Adamm: jaki układ równań?

Gaza: ze wzorami viety dla wielomianu 5 stopnia ktory wyglada tak: 24x⁵+10x⁴−x³−19x²−5x+6

Adamm: jeśli chodzi ci o wyznaczenie x₁, ..., x₅, to jest to równoważne z rozwiązaniem równania 5 stopnia, co w ogólności jest niemożliwe przez pierwiastniki innymi słowy, cholernie trudne

Gaza: czyli nie dam rady tym sposobem? bo chodzi o to ze nie chce szukac pierwiastkow zgadywaniem, ze moze trafie i mechanicznym liczeniem dlatego pomyslalam ze moznaby bylo tak przeksztalcic ten uklad aby sie dalo stworzyc macierz 5x5 i rozwiazac cramerem ten uklad

albi: A "cramer" nie służy czasem do rozwiązywania układów równań liniowych?

Gaza: tak,ale moznaby bylo tak przeksztalcic to rownanie aby bylo liniowe

Mariusz: @Gaza jeśli chodzi o metodę macierzowa to znam taką Tworzymy macierz dla której wielomian charakterystyczny będzie równy podanemu wielomianowi i szukamy wartości własnych bez użycia wielomianu charakterystycznego @Adamm dobrze że dopisałeś "przez pierwiastniki" Większość o tym zapomina Jak chcesz użyć macierzy to policz wartości własne takiej macierzy −5/12 1/24 19/24 5/24 −1/4 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 tylko poszukaj metody która nie korzysta z wielomianu charakterystycznego

Mariusz: Tu masz trochę do poczytania http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=MN13

Mariusz: Bez użycia macierzy Pomnóżmy równanie przez x−1 24x⁵+10x⁴−x³−19x²−5x+6=0 24x⁶+10x⁵−x⁴−19x³−5x²+6x 24x⁵+10x⁴−x³−19x²−5x+6 24x⁶−14x⁵−11x⁴−18x³+14x²+11x−6 24x⁶−14x⁵−11x⁴−18x³+14x²+11x−6=0 24x⁶−14x⁵−11x⁴+6x³−24x³+14x²+11x−6=0 x³(24x³−14x²−11x+6)−(24x³−14x²−11x+6)=0 (x³−1)(24x³−14x²−11x+6)=0 a równanie trzeciego stopnia można rozwiązać bez zgadywania Jeśli chodzi o te wzory Vieta to pewnie zasugerowałaś się sposobem rozwiązywania równania trzeciego stopnia przedstawionym na wikipedii (chodzi o ten "ważony para−cosinus")

ABC: jednak z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych mamy od razu trzy pierwiastki i ten przykład wygląda na ułożony pod to twierdzenie

Mariusz: ABC jak spojrzysz na wcześniejsze wpisy to przeczytasz że nie chciała zgadywać Poza tym ciekawe czy by ci się chciało zgadywać te pierwiastki bez gwarancji że je znajdziesz Z tymi wzorami Vieta to mogło chodzić o uogólnienie sposobu rozwiązywania równań trzeciego stopnia (ten "ważony para−cosinus") Z tymi wzorami Vieta to często zapisuje się równanie w postaci układu równań a następnie przekształca go tak aby był wzorami Vieta dla równania o niższym stopniu Jeśli chodzi o metodę macierzową to ta z wartościami własnymi wygląda na numeryczną " jeśli chodzi ci o wyznaczenie x1, ..., x5, to jest to równoważne z rozwiązaniem równania 5 stopnia, co w ogólności jest niemożliwe przez pierwiastniki" Tak ale to że nie można rozwiązać przez pierwiastniki nie oznacza że nie można takiego równania rozwiązać innymi sposobami Można użyć np funkcji modularnych

Mariusz: (24x³−14x²−11x+6)=0 | 9*8 1728x³ − 1008x² − 792x + 432=0

	y
x=
	12

	y3		y2		y
1728		− 1008		−792		+432=0
	1728		144		12

y³−7y²−66y+432=0 432=2⁴*3³ Czyli mamy do sprawdzenia 2*(4+1)*(3+1)=40 dzielników To ja już szybciej rozłożę ten wielomian używając trygonometrii Gdybym miał rozwiązywać metodą Cardano , czy podstawieniem używanym przez Vieta wynik uzyskałbym także wyrażony za pomocą funkcyj trygonometrycznych ale musiałbym korzystać z liczb zespolonych

Gaza: @Mariusz No dobra,ale co wtedy z resztą wyznaczników?

ABC: wiem że jest aparat do rozwiązywania równań 5 stopnia, 10 lat temu dyskutowałem o tym na matematyka.pl i podawałem linki ale to jest dla koneserów , postać Bring−Jerrarda i inne takie.

ABC: dla zainteresowanych podaję jeden z linków można ściągnąć pdf i przeanalizować (lepiej mieć 2 tygodnie urlopu ) https://arxiv.org/abs/math/0005026

Mariusz: Gaza metodą wyznacznikową rozwiązujesz układy równań liniowych Tutaj jeżeli chcesz użyć macierzy to jedyną metodą jaką znam jest ułożenie pewnej macierzy i obliczenie jej wartości własnych

Gaza: Chyba wiem już o co chodzi

gg: Nie potrzeba obliczać żadnych macierzy. Wystarczy znajomość twierdzenia o pierwiastkach wielomianu o współczynnikach rzeczywistych, czyli wiedza ze szkoły średniej. https://www.matemaks.pl/wymierne-pierwiastki-wielomianu-o-wspolczynnikach-calkowitych.html Pierwiastków wielomianu poszukujemy wśród ułamków

	p
		,
	q

gdzie p jest dzielnikiem wyrazu wolnego (plus, minus), natomiast q jest dzielnikiem wyrazu stojącego przy najwyższej potędze wielomianu (bierzemy także ±). W naszym przypadku p=6, q=24. Po dość żmudnych poszukiwaniach znajdziemy pierwiastki wymierne:

	2		1		3
x1=−		, x2=		, x3=		.
	3		2,		4

Innym sposobem jest rozłożenie wielomianu 24x⁵+10x⁴−x³−19x²−5x+6 na czynniki. 24x⁵+10x⁴−x³−19x²−5x+6=(4x−3)(3x+2)(2x−1)(x²+x+1) lub kombinacja obu tych metod.

Mariusz: gg mam wrażenie że nie czytasz poprzednich wpisów Gaza zna tę "metodę" tylko nie chce jej użyć bo słusznie kojarzy się jej ona ze zgadywaniem To ona zaproponowała metodę macierzową Jest taka co więcej jest ona czasami wykorzystywana w obliczeniach numerycznych W ogólności ta metoda nie dość że jest czasochłonna to jeszcze jest zawodna bo nie mamy gwarancji że taki pierwiastek znajdziemy a dzielników do sprawdzania może być sporo