Podaj przykład homografii przekształcającej : Ala: Podaj przykład homografii przekształcającej : a) dolna półpłaszczyznę zespolona na lewą półpłaszczyznę zespoloną b) dolna półpłaszczyznę zespolona na koło jednostkowe c) koło jednostkowe na prawa półpłaszczyznę zespoloną

jc: (a) z→−iz

jc:

	z+i
(b) z→		, ale sprawdź!
	z−i

Ala: ale jak to się wyznacza?

jc: Nie wiem, ale wiem, że homografia przekształca proste na proste i okręgi. Widziałem takie rozważania w Analizie rzeczywistej i zespolonej Rudina. Autor pokazuje, że tak można przekształcić dowolny okrąg/prostą w dowolny inny okrąg/prostą. Wydaje mi się, że po prostu pokazuje, że dowolne 3 różne punkty można przekształcić w 3 szczególne punkty: 0, 1, ∞. Ale spróbujmy: Punkty prostej: −1, 0, 1 Punkty okręgu: −1, i, 1

	az+b
f(z)=
	cz+d

	a+b		−a+b		b
1=f(1)=		, −1=f(−1)=		, i=f(0)=
	c+d		−c+d		d

b=i, c=1, a=1, c=i

	z+i
f(z)=
	iz+1

Sprawdź teraz, czy |f(z)|≤1 ⇔ Im z ≤ 0. A jak wyjdzie odwrotnie, zamień z na −z.