Sumy WhiskeyTaster:

	n k
Próbuję udowodnić pewne sumy, lecz mi nie wychodzi. (1) ∑nk=2 k(k−1)		= n(n−1)2n−2

	n k	ak+1		(a+1)k+1 − 1
(2) ∑nk=1			= ∑nk=1		−
		k(k+1)		k(k+1)

	1
a∑nk=1
	k

	k 2
W (1) miałem dwa pomysły: pierwszy, to zamienić k(k−1) na 2*		, ale otrzymuję

	k 2	n k
2∑nk=2			i tu już nie wiem, co na to poradzić. Drugi to przekształcić sumę

	n k
poprzez wymnożenie k(k−1)		, ale to również nie przyniosło większych skutków, bo

	n k
otrzymuję ∑nk=0 k2		− n2n−1 i wciąż utykam w tym miejscu.

A co do (2), to w ogóle brak mi pomysłu.

jc: Na ile sposobów z grupy n osób możesz wybrać dowolną grupę (co najmniej 2 osobową), jej szefa i zastępce szefa.

	n k
Grupę k osobową możesz wybrać na		sposobów, w każdej takiej grupie

szefa wybierasz na k sposobów, a zastępce na k−1 sposobów.

	n k
Masz więc ∑k=2n		k(k−1) sposobów.

Możesz jednak postępować inaczej. Najpierw wybrać szefa i zastępcę. Masz n(n−1) możliwości. Następnie w dowolny sposób uzupełnić, co możesz zrobić na 2ⁿ⁻² sposoby. Razem masz n(n−1)2ⁿ⁻² możliwości. No i masz żądaną równość.

WhiskeyTaster: A jak by to zrobić algebraicznie? Sposób kombinatoryczny też jest dobry, nie przeczę, ale czasem jeszcze ciężej mi przychodzi interpretacja kombinatoryczna, niż rozwiązywanie algebraiczne.

jc: Wykorzystaj równość:

	n k		n!		(n−2)!		n−2 k−2
k(k−1)		= k(k−1) *		=n(n−1) *		=n(n−1)
			k!(n−k)!		(k−2)!(n−k)!

WhiskeyTaster: Wyszło pięknie. W takim razie pozostało tylko (2).

Adamm:

n k		n		n−1 k−1
	=		*
		k

Adamm: skorzystaj z pochodnej

WhiskeyTaster: Z pochodnej? Hm, mogę spróbować, jednakże myślałem, że da się to pokazać w inny sposób korzystając z przekształceń sum i bawiąc się tożsamościami kombinatorycznymi.